Номер 9.125, страница 117, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

9.125. Докажите тождество:

1) $(1 + \text{ctg}^2 \alpha)(1 - \sin^2 \alpha) = \text{ctg}^2 \alpha;$

2) $(1 + \text{tg}^2 \beta)(1 - \cos^2 \beta) = \text{tg}^2 \beta;$

3) $\frac{\sin x + \cos x \text{tg} x}{\cos x + \sin x \text{ctg} x} = 2 \text{tg} x;$

4) $\frac{1}{1 + \text{tg}^2 y} - \frac{1}{1 + \text{ctg}^2 y} = \cos 2y.$

1) Докажем тождество $(1 + \text{ctg}^2\alpha)(1 - \sin^2\alpha) = \text{ctg}^2\alpha$.

Для доказательства преобразуем левую часть выражения. Воспользуемся основными тригонометрическими тождествами:

$1 + \text{ctg}^2\alpha = \frac{1}{\sin^2\alpha}$

и

$\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$, из которого следует, что $1 - \sin^2\alpha = \cos^2\alpha$.

Подставим эти выражения в левую часть исходного равенства:

$(1 + \text{ctg}^2\alpha)(1 - \sin^2\alpha) = \left(\frac{1}{\sin^2\alpha}\right) \cdot (\cos^2\alpha) = \frac{\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha}$.

Согласно определению котангенса, $\text{ctg}\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$, следовательно, $\text{ctg}^2\alpha = \frac{\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha}$.

Таким образом, мы получили, что левая часть равна $\text{ctg}^2\alpha$, что и требовалось доказать.

Ответ: Тождество доказано.

2) Докажем тождество $(1 + \text{tg}^2\beta)(1 - \cos^2\beta) = \text{tg}^2\beta$.

Преобразуем левую часть, используя тригонометрические тождества:

$1 + \text{tg}^2\beta = \frac{1}{\cos^2\beta}$

и

$\sin^2\beta + \cos^2\beta = 1$, из которого следует, что $1 - \cos^2\beta = \sin^2\beta$.

Подставим эти тождества в левую часть выражения:

$(1 + \text{tg}^2\beta)(1 - \cos^2\beta) = \left(\frac{1}{\cos^2\beta}\right) \cdot (\sin^2\beta) = \frac{\sin^2\beta}{\cos^2\beta}$.

По определению тангенса, $\text{tg}\beta = \frac{\sin\beta}{\cos\beta}$, следовательно, $\text{tg}^2\beta = \frac{\sin^2\beta}{\cos^2\beta}$.

Левая часть равна правой, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

3) Проверим тождество $\frac{\sin x + \cos x \cdot \text{tg}x}{\cos x + \sin x \cdot \text{ctg}x} = 2\text{tg}x$.

Упростим левую часть выражения. Используем определения тангенса и котангенса: $\text{tg}x = \frac{\sin x}{\cos x}$ и $\text{ctg}x = \frac{\cos x}{\sin x}$. Область допустимых значений: $\sin x \neq 0$ и $\cos x \neq 0$.

Преобразуем числитель дроби:

$\sin x + \cos x \cdot \text{tg}x = \sin x + \cos x \cdot \frac{\sin x}{\cos x} = \sin x + \sin x = 2\sin x$.

Преобразуем знаменатель дроби:

$\cos x + \sin x \cdot \text{ctg}x = \cos x + \sin x \cdot \frac{\cos x}{\sin x} = \cos x + \cos x = 2\cos x$.

Подставим полученные выражения обратно в дробь:

$\frac{2\sin x}{2\cos x} = \frac{\sin x}{\cos x} = \text{tg}x$.

В результате преобразования левой части мы получили $\text{tg}x$. В правой части тождества стоит выражение $2\text{tg}x$.

Равенство $\text{tg}x = 2\text{tg}x$ верно только в том случае, когда $\text{tg}x = 0$, то есть при $x = \pi n$, где $\text{n}$ — целое число. Поскольку тождество должно выполняться для всех допустимых значений $\text{x}$, а не только для отдельных точек, данное равенство не является тождеством.

Вероятнее всего, в условии задачи опечатка. Правильное тождество должно было бы выглядеть как $\frac{\sin x + \cos x \cdot \text{tg}x}{\cos x + \sin x \cdot \text{ctg}x} = \text{tg}x$.

Ответ: Утверждение в задаче не является тождеством. Левая часть выражения равна $\text{tg}x$, а не $2\text{tg}x$.

4) Докажем тождество $\frac{1}{1 + \text{tg}^2 y} - \frac{1}{1 + \text{ctg}^2 y} = \cos 2y$.

Преобразуем левую часть равенства. Применим следующие тригонометрические тождества:

$1 + \text{tg}^2 y = \frac{1}{\cos^2 y}$

и

$1 + \text{ctg}^2 y = \frac{1}{\sin^2 y}$.

Подставим их в левую часть:

$\frac{1}{1 + \text{tg}^2 y} - \frac{1}{1 + \text{ctg}^2 y} = \frac{1}{\frac{1}{\cos^2 y}} - \frac{1}{\frac{1}{\sin^2 y}}$.

Упростим полученное выражение:

$\cos^2 y - \sin^2 y$.

Это известная формула косинуса двойного угла: $\cos 2y = \cos^2 y - \sin^2 y$.

Следовательно, левая часть равна $\cos 2y$, что совпадает с правой частью. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.