Номер 9.123, страница 117, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

9.123. Пусть $0 < x < \frac{\pi}{2}$. На единичной окружности найдите точки, которые соответствуют следующим углам:

1) $x, \pi - x, \pi + x, \frac{\pi}{2} - x, \frac{\pi}{2} + x$;

2) $x + 2k\pi, k \in \mathbb{Z}$;

3) $\pm x + 2k\pi, k \in \mathbb{Z}$;

4) $x + k\pi, k \in \mathbb{Z}$;

5) $(-1)^k + k\pi, k \in \mathbb{Z}$.

1) x, π - x, π + x, $\frac{\pi}{2}$ - x, $\frac{\pi}{2}$ + x;

Пусть $P_x$ — точка на единичной окружности, соответствующая углу $\text{x}$. Поскольку по условию $0 < x < \frac{\pi}{2}$, эта точка находится в первой координатной четверти. Рассмотрим каждую точку по отдельности:

• Углу $\text{x}$ соответствует точка $P_x$ в первой четверти.

• Углу $\pi - x$ соответствует точка $P_{\pi-x}$. Так как $0 < x < \frac{\pi}{2}$, то $\frac{\pi}{2} < \pi - x < \pi$, следовательно, эта точка находится во второй четверти. Её координаты $(\cos(\pi-x), \sin(\pi-x)) = (-\cos x, \sin x)$. Эта точка симметрична точке $P_x$ относительно оси ординат (оси Oy).

• Углу $\pi + x$ соответствует точка $P_{\pi+x}$. Так как $0 < x < \frac{\pi}{2}$, то $\pi < \pi + x < \frac{3\pi}{2}$, следовательно, эта точка находится в третьей четверти. Её координаты $(\cos(\pi+x), \sin(\pi+x)) = (-\cos x, -\sin x)$. Эта точка симметрична точке $P_x$ относительно начала координат.

• Углу $\frac{\pi}{2} - x$ соответствует точка $P_{\pi/2-x}$. Так как $0 < x < \frac{\pi}{2}$, то $0 < \frac{\pi}{2} - x < \frac{\pi}{2}$, следовательно, эта точка находится в первой четверти. Её координаты $(\cos(\frac{\pi}{2}-x), \sin(\frac{\pi}{2}-x)) = (\sin x, \cos x)$. Эта точка симметрична точке $P_x$ относительно прямой $y=x$.

• Углу $\frac{\pi}{2} + x$ соответствует точка $P_{\pi/2+x}$. Так как $0 < x < \frac{\pi}{2}$, то $\frac{\pi}{2} < \frac{\pi}{2} + x < \pi$, следовательно, эта точка находится во второй четверти. Её координаты $(\cos(\frac{\pi}{2}+x), \sin(\frac{\pi}{2}+x)) = (-\sin x, \cos x)$. Эта точка получается поворотом точки $P_x$ на угол $\frac{\pi}{2}$ против часовой стрелки.

Ответ: Точка для угла $\text{x}$ находится в первой четверти; точка для $\pi-x$ — во второй, симметрична первой относительно оси Oy; точка для $\pi+x$ — в третьей, симметрична первой относительно начала координат; точка для $\frac{\pi}{2}-x$ — в первой, симметрична первой относительно прямой $y=x$; точка для $\frac{\pi}{2}+x$ — во второй, получается поворотом первой на $\frac{\pi}{2}$ против часовой стрелки.

2) x + 2kπ, k ∈ Z;

Прибавление к углу величины $2k\pi$, где $\text{k}$ — целое число, соответствует совершению $\text{k}$ полных оборотов по окружности (против часовой стрелки при $k>0$ и по часовой стрелке при $k<0$). При этом положение точки на единичной окружности не изменяется. Поэтому все углы вида $x + 2k\pi$ соответствуют одной и той же точке, что и угол $\text{x}$. Поскольку $0 < x < \frac{\pi}{2}$, эта точка находится в первой четверти.

Ответ: Всем углам данного вида соответствует одна точка в первой четверти, та же, что и для угла $\text{x}$.

3) ± x + 2kπ, k ∈ Z;

Эта запись объединяет два семейства углов: $x + 2k\pi$ и $-x + 2k\pi$, где $k \in Z$.

1. Как показано в пункте 2, все углы вида $x + 2k\pi$ соответствуют одной точке $P_x$ в первой четверти.

2. Все углы вида $-x + 2k\pi$ соответствуют одной точке $P_{-x}$ (поскольку добавление $2k\pi$ не меняет положения точки). Поскольку $0 < x < \frac{\pi}{2}$, то $-\frac{\pi}{2} < -x < 0$, следовательно, эта точка находится в четвертой четверти. Её координаты $(\cos(-x), \sin(-x)) = (\cos x, -\sin x)$. Эта точка симметрична точке $P_x$ относительно оси абсцисс (оси Ox).

Таким образом, данное выражение задает две точки на единичной окружности.

Ответ: Данным углам соответствуют две точки на единичной окружности: одна в первой четверти (соответствующая углу $\text{x}$), другая — в четвертой четверти (соответствующая углу $-x$). Эти точки симметричны друг другу относительно оси Ox.

4) x + kπ, k ∈ Z;

Рассмотрим два случая для целого числа $\text{k}$:

1. Если $\text{k}$ — четное число, то $k = 2n$ для некоторого целого $\text{n}$. Тогда угол равен $x + 2n\pi$. Этим углам соответствует одна точка $P_x$ в первой четверти (см. пункт 2).

2. Если $\text{k}$ — нечетное число, то $k = 2n + 1$ для некоторого целого $\text{n}$. Тогда угол равен $x + (2n+1)\pi = (x+\pi) + 2n\pi$. Этим углам соответствует одна точка $P_{x+\pi}$. Эта точка находится в третьей четверти и симметрична точке $P_x$ относительно начала координат (см. пункт 1).

Следовательно, данное выражение задает две точки.

Ответ: Данным углам соответствуют две диаметрально противоположные точки: одна в первой четверти (соответствующая углу $\text{x}$), другая — в третьей четверти (соответствующая углу $x+\pi$).

5) (-1)^kx + kπ, k ∈ Z.

Рассмотрим два случая для целого числа $\text{k}$:

1. Если $\text{k}$ — четное число, то $k = 2n$ для некоторого целого $\text{n}$. Тогда $(-1)^k = (-1)^{2n} = 1$, и угол равен $x + 2n\pi$. Этим углам соответствует точка $P_x$ в первой четверти.

2. Если $\text{k}$ — нечетное число, то $k = 2n + 1$ для некоторого целого $\text{n}$. Тогда $(-1)^k = (-1)^{2n+1} = -1$, и угол равен $-x + (2n+1)\pi = (\pi-x) + 2n\pi$. Этим углам соответствует точка $P_{\pi-x}$. Эта точка находится во второй четверти и симметрична точке $P_x$ относительно оси ординат (оси Oy), как показано в пункте 1.

Таким образом, данное выражение задает две точки.

Ответ: Данным углам соответствуют две точки на единичной окружности: одна в первой четверти (соответствующая углу $\text{x}$), другая — во второй четверти (соответствующая углу $\pi-x$). Эти точки симметричны друг другу относительно оси Oy.