Номер 9.121, страница 117, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

9.121. По заданному значению функции найдите значения остальных тригонометрических функций:

1) $ \sin \alpha = -\frac{3}{5} $, $ \pi < \alpha < \frac{3\pi}{2} $;

2) $ \cos \alpha = -\frac{12}{13} $, $ \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi $;

3) $ \text{tg} \alpha = 2\sqrt{2} $, $ 0 < \alpha < \frac{\pi}{2} $;

4) $ \text{ctg} \alpha = -2\sqrt{6} $, $ \frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi $.

1) Дано: $ \sin\alpha = -\frac{3}{5} $, $ \pi < \alpha < \frac{3\pi}{2} $. Угол $ \alpha $ находится в третьей четверти. В этой четверти косинус отрицателен, а тангенс и котангенс положительны.

Найдем косинус, используя основное тригонометрическое тождество $ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 $:

$ \cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha = 1 - \left(-\frac{3}{5}\right)^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25} $.

Так как $ \alpha $ в третьей четверти, $ \cos\alpha < 0 $, поэтому $ \cos\alpha = -\sqrt{\frac{16}{25}} = -\frac{4}{5} $.

Теперь найдем тангенс и котангенс:

$ \text{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{-3/5}{-4/5} = \frac{3}{4} $.

$ \text{ctg}\alpha = \frac{1}{\text{tg}\alpha} = \frac{1}{3/4} = \frac{4}{3} $.

Ответ: $ \cos\alpha = -\frac{4}{5} $, $ \text{tg}\alpha = \frac{3}{4} $, $ \text{ctg}\alpha = \frac{4}{3} $.

2) Дано: $ \cos\alpha = -\frac{12}{13} $, $ \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi $. Угол $ \alpha $ находится во второй четверти. В этой четверти синус положителен, а тангенс и котангенс отрицательны.

Найдем синус из основного тригонометрического тождества $ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 $:

$ \sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha = 1 - \left(-\frac{12}{13}\right)^2 = 1 - \frac{144}{169} = \frac{25}{169} $.

Так как $ \alpha $ во второй четверти, $ \sin\alpha > 0 $, поэтому $ \sin\alpha = \sqrt{\frac{25}{169}} = \frac{5}{13} $.

Теперь найдем тангенс и котангенс:

$ \text{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{5/13}{-12/13} = -\frac{5}{12} $.

$ \text{ctg}\alpha = \frac{1}{\text{tg}\alpha} = \frac{1}{-5/12} = -\frac{12}{5} $.

Ответ: $ \sin\alpha = \frac{5}{13} $, $ \text{tg}\alpha = -\frac{5}{12} $, $ \text{ctg}\alpha = -\frac{12}{5} $.

3) Дано: $ \text{tg}\alpha = 2\sqrt{2} $, $ 0 < \alpha < \frac{\pi}{2} $. Угол $ \alpha $ находится в первой четверти. В этой четверти все тригонометрические функции положительны.

Найдем котангенс:

$ \text{ctg}\alpha = \frac{1}{\text{tg}\alpha} = \frac{1}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{4} $.

Найдем косинус, используя тождество $ 1 + \text{tg}^2\alpha = \frac{1}{\cos^2\alpha} $:

$ \frac{1}{\cos^2\alpha} = 1 + (2\sqrt{2})^2 = 1 + 8 = 9 $.

$ \cos^2\alpha = \frac{1}{9} $.

Так как $ \alpha $ в первой четверти, $ \cos\alpha > 0 $, поэтому $ \cos\alpha = \sqrt{\frac{1}{9}} = \frac{1}{3} $.

Найдем синус, используя $ \text{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} $, откуда $ \sin\alpha = \text{tg}\alpha \cdot \cos\alpha $:

$ \sin\alpha = 2\sqrt{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{2\sqrt{2}}{3} $.

Ответ: $ \sin\alpha = \frac{2\sqrt{2}}{3} $, $ \cos\alpha = \frac{1}{3} $, $ \text{ctg}\alpha = \frac{\sqrt{2}}{4} $.

4) Дано: $ \text{ctg}\alpha = -2\sqrt{6} $, $ \frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi $. Угол $ \alpha $ находится в четвертой четверти. В этой четверти косинус положителен, а синус и тангенс отрицательны.

Найдем тангенс:

$ \text{tg}\alpha = \frac{1}{\text{ctg}\alpha} = \frac{1}{-2\sqrt{6}} = -\frac{\sqrt{6}}{2\sqrt{6}\cdot\sqrt{6}} = -\frac{\sqrt{6}}{12} $.

Найдем синус, используя тождество $ 1 + \text{ctg}^2\alpha = \frac{1}{\sin^2\alpha} $:

$ \frac{1}{\sin^2\alpha} = 1 + (-2\sqrt{6})^2 = 1 + 4 \cdot 6 = 1 + 24 = 25 $.

$ \sin^2\alpha = \frac{1}{25} $.

Так как $ \alpha $ в четвертой четверти, $ \sin\alpha < 0 $, поэтому $ \sin\alpha = -\sqrt{\frac{1}{25}} = -\frac{1}{5} $.

Найдем косинус, используя $ \text{ctg}\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} $, откуда $ \cos\alpha = \text{ctg}\alpha \cdot \sin\alpha $:

$ \cos\alpha = (-2\sqrt{6}) \cdot \left(-\frac{1}{5}\right) = \frac{2\sqrt{6}}{5} $.

Ответ: $ \sin\alpha = -\frac{1}{5} $, $ \cos\alpha = \frac{2\sqrt{6}}{5} $, $ \text{tg}\alpha = -\frac{\sqrt{6}}{12} $.