Номер 9.126, страница 117, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

9.126. Докажите, что значение выражения не зависит от у:

1) $\cos(38^{\circ} + y)\cos (52^{\circ} - y) - \sin (38^{\circ} + y)\sin (52^{\circ} - y);$

2) $\sin\left(\frac{\pi}{10} - y\right)\cos\left(\frac{\pi}{15} + y\right) + \cos\left(\frac{\pi}{10} - y\right)\sin\left(\frac{\pi}{15} + y\right).$

1) Данное выражение имеет вид $cos(\alpha)cos(\beta) - sin(\alpha)sin(\beta)$, что соответствует формуле косинуса суммы двух углов: $cos(\alpha + \beta)$.

В нашем случае пусть $\alpha = 38^\circ + y$ и $\beta = 52^\circ - y$.

Тогда выражение можно переписать как $cos((38^\circ + y) + (52^\circ - y))$.

Упростим выражение в скобках:

$ (38^\circ + y) + (52^\circ - y) = 38^\circ + y + 52^\circ - y = 38^\circ + 52^\circ = 90^\circ $

Таким образом, исходное выражение равно $cos(90^\circ)$, значение которого равно 0.

Так как результат (0) является постоянным числом и не содержит $\text{y}$, доказано, что значение выражения не зависит от $\text{y}$.

Ответ: 0.

2) Данное выражение имеет вид $sin(\alpha)cos(\beta) + cos(\alpha)sin(\beta)$, что соответствует формуле синуса суммы двух углов: $sin(\alpha + \beta)$.

В нашем случае пусть $\alpha = \frac{\pi}{10} - y$ и $\beta = \frac{\pi}{15} + y$.

Тогда выражение можно переписать как $sin\left(\left(\frac{\pi}{10} - y\right) + \left(\frac{\pi}{15} + y\right)\right)$.

Упростим выражение в скобках, приведя дроби к общему знаменателю:

$ \left(\frac{\pi}{10} - y\right) + \left(\frac{\pi}{15} + y\right) = \frac{\pi}{10} - y + \frac{\pi}{15} + y = \frac{\pi}{10} + \frac{\pi}{15} = \frac{3\pi}{30} + \frac{2\pi}{30} = \frac{5\pi}{30} = \frac{\pi}{6} $

Таким образом, исходное выражение равно $sin\left(\frac{\pi}{6}\right)$, значение которого равно $\frac{1}{2}$.

Так как результат ($\frac{1}{2}$) является постоянным числом и не содержит $\text{y}$, доказано, что значение выражения не зависит от $\text{y}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$.