Номер 9.133, страница 118, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

9.133. Вычислите:

1) $ \sin 20^\circ \cdot \sin 40^\circ \cdot \sin 80^\circ $;

2) $ \cos 70^\circ \cdot \cos 50^\circ \cdot \cos 10^\circ $.

1) Вычислим произведение $\sin20^{\circ} \cdot \sin40^{\circ} \cdot \sin80^{\circ}$.

Для решения воспользуемся формулой преобразования произведения синусов в сумму:

$\sin\alpha \cdot \sin\beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha-\beta) - \cos(\alpha+\beta))$.

Сгруппируем первые два сомножителя и применим к ним эту формулу:

$\sin20^{\circ} \cdot \sin40^{\circ} = \frac{1}{2}(\cos(40^{\circ}-20^{\circ}) - \cos(40^{\circ}+20^{\circ})) = \frac{1}{2}(\cos20^{\circ} - \cos60^{\circ})$.

Поскольку $\cos60^{\circ} = \frac{1}{2}$, то выражение принимает вид:

$\frac{1}{2}(\cos20^{\circ} - \frac{1}{2})$.

Теперь умножим полученное выражение на оставшийся сомножитель $\sin80^{\circ}$:

$(\frac{1}{2}(\cos20^{\circ} - \frac{1}{2})) \cdot \sin80^{\circ} = \frac{1}{2}\cos20^{\circ}\sin80^{\circ} - \frac{1}{4}\sin80^{\circ}$.

Для преобразования произведения $\cos20^{\circ}\sin80^{\circ}$ воспользуемся формулой:

$\cos\alpha \cdot \sin\beta = \frac{1}{2}(\sin(\alpha+\beta) - \sin(\alpha-\beta))$ или $\sin\beta \cos\alpha = \frac{1}{2}(\sin(\beta+\alpha) + \sin(\beta-\alpha))$.

Используем вторую: $\sin80^{\circ}\cos20^{\circ} = \frac{1}{2}(\sin(80^{\circ}+20^{\circ}) + \sin(80^{\circ}-20^{\circ})) = \frac{1}{2}(\sin100^{\circ} + \sin60^{\circ})$.

Используем формулу приведения $\sin100^{\circ} = \sin(180^{\circ}-80^{\circ}) = \sin80^{\circ}$ и значение $\sin60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Тогда $\sin80^{\circ}\cos20^{\circ} = \frac{1}{2}(\sin80^{\circ} + \frac{\sqrt{3}}{2})$.

Подставим это обратно в наше выражение:

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}(\sin80^{\circ} + \frac{\sqrt{3}}{2}) - \frac{1}{4}\sin80^{\circ} = \frac{1}{4}\sin80^{\circ} + \frac{\sqrt{3}}{8} - \frac{1}{4}\sin80^{\circ}$.

Сокращая подобные члены, получаем конечный результат:

$\frac{\sqrt{3}}{8}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{8}$

2) Вычислим произведение $\cos70^{\circ} \cdot \cos50^{\circ} \cdot \cos10^{\circ}$.

Для решения воспользуемся формулой приведения $\cos\alpha = \sin(90^{\circ}-\alpha)$.

Преобразуем каждый сомножитель:

$\cos70^{\circ} = \sin(90^{\circ}-70^{\circ}) = \sin20^{\circ}$

$\cos50^{\circ} = \sin(90^{\circ}-50^{\circ}) = \sin40^{\circ}$

$\cos10^{\circ} = \sin(90^{\circ}-10^{\circ}) = \sin80^{\circ}$

Таким образом, исходное выражение можно переписать в следующем виде:

$\cos70^{\circ} \cdot \cos50^{\circ} \cdot \cos10^{\circ} = \sin20^{\circ} \cdot \sin40^{\circ} \cdot \sin80^{\circ}$.

Это выражение в точности совпадает с выражением из пункта 1), результат вычисления которого мы уже нашли.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{8}$