Номер 9.129, страница 118, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

В упражнениях 9.127-9.129 упростите выражения.

9.129. 1) $\frac{\sin^3 \alpha - \cos^3 \alpha}{\sin \alpha - \cos \alpha} - \frac{\cos \alpha}{\sqrt{1 + \operatorname{ctg}^2 \alpha}} - 2 \operatorname{tg} \alpha \operatorname{ctg} \alpha$;

2) $\frac{1}{\operatorname{tg} \alpha} - \frac{1}{\operatorname{tg}(\alpha + \beta)} - \operatorname{tg}\beta \cdot \left(1 + \frac{1}{\operatorname{tg}\alpha \operatorname{tg}(\alpha + \beta)}\right)$;

3) $\cos^2 \alpha + \cos^2 \left(\frac{\pi}{3} + \alpha\right) + \cos^2 \left(\frac{\pi}{3} - \alpha\right)$.

1) Упростим выражение по частям.

Первый член $ \frac{\sin^3 \alpha - \cos^3 \alpha}{\sin \alpha - \cos \alpha} $ является разностью кубов. Используем формулу $ a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2) $:

$ \frac{(\sin \alpha - \cos \alpha)(\sin^2 \alpha + \sin \alpha \cos \alpha + \cos^2 \alpha)}{\sin \alpha - \cos \alpha} $

Сокращая $ (\sin \alpha - \cos \alpha) $ и применяя основное тригонометрическое тождество $ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 $, получаем:

$ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha + \sin \alpha \cos \alpha = 1 + \sin \alpha \cos \alpha $

Второй член $ \frac{\cos \alpha}{\sqrt{1 + \operatorname{ctg}^2 \alpha}} $. Используем тождество $ 1 + \operatorname{ctg}^2 \alpha = \frac{1}{\sin^2 \alpha} $:

$ \frac{\cos \alpha}{\sqrt{\frac{1}{\sin^2 \alpha}}} = \frac{\cos \alpha}{\frac{1}{|\sin \alpha|}} = |\sin \alpha| \cos \alpha $

Для того чтобы выражение можно было однозначно упростить до константы, обычно в таких задачах предполагается, что $ \sin \alpha > 0 $ (например, $ \alpha $ находится в I или II четверти). В этом случае $ |\sin \alpha| = \sin \alpha $, и второй член становится равен $ \sin \alpha \cos \alpha $.

Третий член $ 2\operatorname{tg}\alpha\operatorname{ctg}\alpha $. Так как $ \operatorname{tg}\alpha \cdot \operatorname{ctg}\alpha = 1 $, то:

$ 2\operatorname{tg}\alpha\operatorname{ctg}\alpha = 2 \cdot 1 = 2 $

Теперь объединим все упрощенные части:

$ (1 + \sin \alpha \cos \alpha) - (\sin \alpha \cos \alpha) - 2 = 1 - 2 = -1 $

Ответ: $ -1 $

2) Приведем все выражение к общему знаменателю $ \operatorname{tg}\alpha \operatorname{tg}(\alpha+\beta) $. Сначала раскроем скобки во втором слагаемом:

$ \frac{1}{\operatorname{tg}\alpha} - \frac{1}{\operatorname{tg}(\alpha+\beta)} - \operatorname{tg}\beta \cdot \left(1 + \frac{1}{\operatorname{tg}\alpha \operatorname{tg}(\alpha+\beta)}\right) = \frac{1}{\operatorname{tg}\alpha} - \frac{1}{\operatorname{tg}(\alpha+\beta)} - \operatorname{tg}\beta - \frac{\operatorname{tg}\beta}{\operatorname{tg}\alpha \operatorname{tg}(\alpha+\beta)} $

Теперь приводим к общему знаменателю:

$ \frac{\operatorname{tg}(\alpha+\beta)}{\operatorname{tg}\alpha \operatorname{tg}(\alpha+\beta)} - \frac{\operatorname{tg}\alpha}{\operatorname{tg}\alpha \operatorname{tg}(\alpha+\beta)} - \frac{\operatorname{tg}\alpha\operatorname{tg}\beta\operatorname{tg}(\alpha+\beta)}{\operatorname{tg}\alpha \operatorname{tg}(\alpha+\beta)} - \frac{\operatorname{tg}\beta}{\operatorname{tg}\alpha \operatorname{tg}(\alpha+\beta)} $

Объединим числители:

$ \frac{\operatorname{tg}(\alpha+\beta) - \operatorname{tg}\alpha - \operatorname{tg}\alpha\operatorname{tg}\beta\operatorname{tg}(\alpha+\beta) - \operatorname{tg}\beta}{\operatorname{tg}\alpha \operatorname{tg}(\alpha+\beta)} $

Сгруппируем слагаемые в числителе:

$ (\operatorname{tg}(\alpha+\beta) - \operatorname{tg}\alpha\operatorname{tg}\beta\operatorname{tg}(\alpha+\beta)) - (\operatorname{tg}\alpha + \operatorname{tg}\beta) $

Вынесем $ \operatorname{tg}(\alpha+\beta) $ за скобки в первой группе:

$ \operatorname{tg}(\alpha+\beta)(1 - \operatorname{tg}\alpha\operatorname{tg}\beta) - (\operatorname{tg}\alpha + \operatorname{tg}\beta) $

Используем формулу тангенса суммы: $ \operatorname{tg}(\alpha+\beta) = \frac{\operatorname{tg}\alpha + \operatorname{tg}\beta}{1 - \operatorname{tg}\alpha\operatorname{tg}\beta} $. Отсюда следует, что $ \operatorname{tg}\alpha + \operatorname{tg}\beta = \operatorname{tg}(\alpha+\beta)(1 - \operatorname{tg}\alpha\operatorname{tg}\beta) $.

Подставим это выражение в числитель:

$ \operatorname{tg}(\alpha+\beta)(1 - \operatorname{tg}\alpha\operatorname{tg}\beta) - \operatorname{tg}(\alpha+\beta)(1 - \operatorname{tg}\alpha\operatorname{tg}\beta) = 0 $

Так как числитель равен нулю (при условии, что знаменатель не равен нулю), все выражение равно нулю.

Ответ: $ 0 $

3) Используем формулу понижения степени $ \cos^2 x = \frac{1 + \cos(2x)}{2} $ для каждого из слагаемых.

$ \cos^2 \alpha = \frac{1 + \cos(2\alpha)}{2} $

$ \cos^2\left(\frac{\pi}{3} + \alpha\right) = \frac{1 + \cos\left(2\left(\frac{\pi}{3} + \alpha\right)\right)}{2} = \frac{1 + \cos\left(\frac{2\pi}{3} + 2\alpha\right)}{2} $

$ \cos^2\left(\frac{\pi}{3} - \alpha\right) = \frac{1 + \cos\left(2\left(\frac{\pi}{3} - \alpha\right)\right)}{2} = \frac{1 + \cos\left(\frac{2\pi}{3} - 2\alpha\right)}{2} $

Сложим полученные выражения:

$ \frac{1 + \cos(2\alpha)}{2} + \frac{1 + \cos\left(\frac{2\pi}{3} + 2\alpha\right)}{2} + \frac{1 + \cos\left(\frac{2\pi}{3} - 2\alpha\right)}{2} $

$ = \frac{1}{2} \left( 1 + \cos(2\alpha) + 1 + \cos\left(\frac{2\pi}{3} + 2\alpha\right) + 1 + \cos\left(\frac{2\pi}{3} - 2\alpha\right) \right) $

$ = \frac{1}{2} \left( 3 + \cos(2\alpha) + \left(\cos\left(\frac{2\pi}{3} + 2\alpha\right) + \cos\left(\frac{2\pi}{3} - 2\alpha\right)\right) \right) $

Для суммы косинусов в скобках применим формулу $ \cos(x+y) + \cos(x-y) = 2\cos x \cos y $:

$ \cos\left(\frac{2\pi}{3} + 2\alpha\right) + \cos\left(\frac{2\pi}{3} - 2\alpha\right) = 2\cos\left(\frac{2\pi}{3}\right)\cos(2\alpha) $

Так как $ \cos\left(\frac{2\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2} $, получаем:

$ 2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)\cos(2\alpha) = -\cos(2\alpha) $

Подставим это обратно в исходное выражение:

$ \frac{1}{2} (3 + \cos(2\alpha) - \cos(2\alpha)) = \frac{1}{2} \cdot 3 = \frac{3}{2} $

Ответ: $ \frac{3}{2} $