Номер 9.130, страница 118, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

9.130. Известно, что $\cos \alpha = -\frac{9}{41}$, $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$. Найдите значение $\operatorname{tg}\left(\alpha - \frac{\pi}{4}\right)$.

Для нахождения значения выражения $tg(\alpha - \frac{\pi}{4})$ воспользуемся формулой тангенса разности:

$tg(\alpha - \beta) = \frac{tg\alpha - tg\beta}{1 + tg\alpha \cdot tg\beta}$

В нашем случае $\beta = \frac{\pi}{4}$, а значение $tg(\frac{\pi}{4}) = 1$. Подставим это в формулу:

$tg(\alpha - \frac{\pi}{4}) = \frac{tg\alpha - 1}{1 + tg\alpha}$

Теперь нам необходимо найти значение $tg\alpha$. Нам известно, что $cos\alpha = -\frac{9}{41}$ и $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$.

Найдем $sin\alpha$ с помощью основного тригонометрического тождества $sin^2\alpha + cos^2\alpha = 1$.

$sin^2\alpha = 1 - cos^2\alpha = 1 - (-\frac{9}{41})^2 = 1 - \frac{81}{1681} = \frac{1681 - 81}{1681} = \frac{1600}{1681}$

Следовательно, $sin\alpha = \pm\sqrt{\frac{1600}{1681}} = \pm\frac{40}{41}$.

Поскольку по условию угол $\alpha$ принадлежит третьей четверти ($\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$), значение синуса для такого угла отрицательное. Таким образом, выбираем $sin\alpha = -\frac{40}{41}$.

Теперь мы можем вычислить $tg\alpha$:

$tg\alpha = \frac{sin\alpha}{cos\alpha} = \frac{-40/41}{-9/41} = \frac{40}{9}$.

Наконец, подставим найденное значение $tg\alpha$ в выражение для $tg(\alpha - \frac{\pi}{4})$:

$tg(\alpha - \frac{\pi}{4}) = \frac{\frac{40}{9} - 1}{1 + \frac{40}{9}} = \frac{\frac{40 - 9}{9}}{\frac{9 + 40}{9}} = \frac{\frac{31}{9}}{\frac{49}{9}} = \frac{31}{49}$.

Ответ: $\frac{31}{49}$.