Номер 9.93, страница 112, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

В упражнениях 9.91-9.93 решите системы уравнений.

9.93. 1) $\begin{cases} 2x - 3y = 0, \\ x^2 + 3xy + 5y^2 = 47; \end{cases}$

2) $\begin{cases} x^2 - 5xy + 4y^2 = 0, \\ x^2 + 3xy + 5y^2 = 5. \end{cases}$

1)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} 2x - 3y = 0 \\ x^2 + 3xy + 5y^2 = 47 \end{cases}$

Для решения данной системы воспользуемся методом подстановки. Из первого, линейного, уравнения выразим одну переменную через другую.

$2x - 3y = 0 \implies 2x = 3y \implies x = \frac{3}{2}y$.

Теперь подставим полученное выражение для $\text{x}$ во второе уравнение системы:

$(\frac{3}{2}y)^2 + 3(\frac{3}{2}y)y + 5y^2 = 47$

Выполним преобразования и решим полученное уравнение относительно $\text{y}$:

$\frac{9}{4}y^2 + \frac{9}{2}y^2 + 5y^2 = 47$

Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части уравнения на 4:

$9y^2 + 18y^2 + 20y^2 = 188$

$47y^2 = 188$

$y^2 = \frac{188}{47}$

$y^2 = 4$

Отсюда находим два возможных значения для $\text{y}$: $y_1 = 2$ и $y_2 = -2$.

Найдем соответствующие значения $\text{x}$ для каждого значения $\text{y}$, используя выражение $x = \frac{3}{2}y$.

При $y_1 = 2$, $x_1 = \frac{3}{2} \cdot 2 = 3$. Получаем решение $(3, 2)$.

При $y_2 = -2$, $x_2 = \frac{3}{2} \cdot (-2) = -3$. Получаем решение $(-3, -2)$.

Ответ: $(3, 2), (-3, -2)$.

2)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} x^2 - 5xy + 4y^2 = 0 \\ x^2 + 3xy + 5y^2 = 5 \end{cases}$

Первое уравнение системы, $x^2 - 5xy + 4y^2 = 0$, является однородным уравнением второй степени. Разложим его левую часть на множители:

$x^2 - xy - 4xy + 4y^2 = 0$

$x(x - y) - 4y(x - y) = 0$

$(x - y)(x - 4y) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Это дает нам два случая:

1. $x - y = 0 \implies x = y$

2. $x - 4y = 0 \implies x = 4y$

Теперь рассмотрим каждый случай, подставив полученное соотношение во второе уравнение системы $x^2 + 3xy + 5y^2 = 5$.

Случай 1: $x = y$

Подставляем $x=y$ во второе уравнение:

$y^2 + 3(y)(y) + 5y^2 = 5$

$y^2 + 3y^2 + 5y^2 = 5$

$9y^2 = 5$

$y^2 = \frac{5}{9} \implies y = \pm \frac{\sqrt{5}}{3}$.

Так как $x = y$, получаем две пары решений: $(\frac{\sqrt{5}}{3}, \frac{\sqrt{5}}{3})$ и $(-\frac{\sqrt{5}}{3}, -\frac{\sqrt{5}}{3})$.

Случай 2: $x = 4y$

Подставляем $x=4y$ во второе уравнение:

$(4y)^2 + 3(4y)(y) + 5y^2 = 5$

$16y^2 + 12y^2 + 5y^2 = 5$

$33y^2 = 5$

$y^2 = \frac{5}{33} \implies y = \pm \sqrt{\frac{5}{33}} = \pm \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{33}} = \pm \frac{\sqrt{165}}{33}$.

Так как $x = 4y$, находим соответствующие значения $\text{x}$: $x = \pm 4 \frac{\sqrt{165}}{33}$.

Получаем еще две пары решений: $(\frac{4\sqrt{165}}{33}, \frac{\sqrt{165}}{33})$ и $(-\frac{4\sqrt{165}}{33}, -\frac{\sqrt{165}}{33})$.

Ответ: $(\frac{\sqrt{5}}{3}, \frac{\sqrt{5}}{3}), (-\frac{\sqrt{5}}{3}, -\frac{\sqrt{5}}{3}), (\frac{4\sqrt{165}}{33}, \frac{\sqrt{165}}{33}), (-\frac{4\sqrt{165}}{33}, -\frac{\sqrt{165}}{33})$.