Номер 9.87, страница 111, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

9.87. Решите уравнение для любого значения параметра a:

1) $a(a-1)x = a;$

2) $x^2 + ax + 36 = 0;$

3) $x^2 - (2a + 1)x + a^2 + a = 0;$

4) $\frac{x-a}{x-3} = 0;$

5) $\frac{x^2-a^2}{x-3} = 0;$

6) $\frac{x^2-a^2}{x+4} = 0.$

1) $a(a - 1)x = a$

Данное уравнение является линейным относительно переменной $\text{x}$. Решение зависит от значения коэффициента при $\text{x}$.

1. Если коэффициент $a(a - 1) \neq 0$, то есть $a \neq 0$ и $a \neq 1$. В этом случае уравнение имеет единственный корень. Разделим обе части уравнения на $a(a - 1)$:

$x = \frac{a}{a(a-1)}$

Поскольку $a \neq 0$, можно сократить дробь на $\text{a}$:

$x = \frac{1}{a-1}$

2. Если коэффициент $a(a - 1) = 0$, то есть $a = 0$ или $a = 1$.

а) При $a = 0$ уравнение принимает вид $0 \cdot x = 0$. Это равенство верно для любого значения $\text{x}$. Следовательно, $\text{x}$ - любое действительное число.

б) При $a = 1$ уравнение принимает вид $0 \cdot x = 1$. Это равенство неверно ни для какого значения $\text{x}$. Следовательно, уравнение не имеет корней.

Ответ: если $a = 0$, то $x \in \mathbb{R}$; если $a = 1$, то корней нет; если $a \neq 0$ и $a \neq 1$, то $x = \frac{1}{a-1}$.

2) $x^2 + ax + 36 = 0$

Это квадратное уравнение относительно $\text{x}$. Найдем его дискриминант $\text{D}$.

$D = a^2 - 4 \cdot 1 \cdot 36 = a^2 - 144$.

Количество и значения корней зависят от знака дискриминанта.

1. Если $D > 0$, то есть $a^2 - 144 > 0$, что равносильно $|a| > 12$ (или $a < -12$ или $a > 12$). В этом случае уравнение имеет два различных действительных корня:

$x_{1,2} = \frac{-a \pm \sqrt{a^2 - 144}}{2}$.

2. Если $D = 0$, то есть $a^2 - 144 = 0$, что равносильно $a = 12$ или $a = -12$. В этом случае уравнение имеет один корень кратности 2:

$x = \frac{-a}{2}$.

а) При $a=12$, $x = \frac{-12}{2} = -6$.

б) При $a=-12$, $x = \frac{-(-12)}{2} = 6$.

3. Если $D < 0$, то есть $a^2 - 144 < 0$, что равносильно $|a| < 12$ (или $-12 < a < 12$). В этом случае уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: если $|a| < 12$, то корней нет; если $a = 12$, то $x = -6$; если $a = -12$, то $x = 6$; если $|a| > 12$, то $x = \frac{-a \pm \sqrt{a^2 - 144}}{2}$.

3) $x^2 - (2a + 1)x + a^2 + a = 0$

Это квадратное уравнение относительно $\text{x}$. Найдем его дискриминант $\text{D}$.

$D = (-(2a+1))^2 - 4 \cdot 1 \cdot (a^2+a) = (2a+1)^2 - 4(a^2+a)$

$D = (4a^2 + 4a + 1) - (4a^2 + 4a) = 1$.

Поскольку $D = 1 > 0$ для любого значения параметра $\text{a}$, уравнение всегда имеет два различных действительных корня.

$x_{1,2} = \frac{-(-(2a+1)) \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{2a+1 \pm 1}{2}$.

Найдем корни:

$x_1 = \frac{2a+1-1}{2} = \frac{2a}{2} = a$.

$x_2 = \frac{2a+1+1}{2} = \frac{2a+2}{2} = a+1$.

Ответ: для любого $\text{a}$ корни уравнения $x_1 = a$, $x_2 = a+1$.

4) $\frac{x-a}{x-3} = 0$

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля.

Условие равенства числителя нулю: $x - a = 0$, откуда $x = a$.

Условие отличия знаменателя от нуля: $x - 3 \neq 0$, откуда $x \neq 3$.

Корень $x=a$ является решением, если он удовлетворяет условию $x \neq 3$, то есть $a \neq 3$.

1. Если $a = 3$, то корень $x=a=3$ является недопустимым. Следовательно, при $a=3$ уравнение не имеет корней.

2. Если $a \neq 3$, то корень $x=a$ является решением.

Ответ: если $a = 3$, то корней нет; если $a \neq 3$, то $x = a$.

5) $\frac{x^2 - a^2}{x - 3} = 0$

Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.

1. Числитель равен нулю: $x^2 - a^2 = 0 \implies x^2 = a^2$. Отсюда получаем два потенциальных корня: $x_1 = a$ и $x_2 = -a$.

2. Знаменатель не равен нулю: $x - 3 \neq 0 \implies x \neq 3$.

Необходимо исключить те значения $\text{a}$, при которых корни совпадают с недопустимым значением $x=3$.

- $a = 3$: потенциальные корни $x=3$ и $x=-3$. Корень $x=3$ недопустим. Остается единственный корень $x=-3$.

- $a = -3$: потенциальные корни $x=-3$ и $x=3$. Корень $x=3$ недопустим. Остается единственный корень $x=-3$.

- $a \neq 3$ и $a \neq -3$: оба корня $x=a$ и $x=-a$ не равны $\text{3}$ и являются решениями.

Ответ: если $a=3$ или $a=-3$, то $x=-3$; если $a \neq 3$ и $a \neq -3$, то $x=a$ и $x=-a$.

6) $\frac{x^2 - a^2}{x + 4} = 0$

Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.

1. Числитель равен нулю: $x^2 - a^2 = 0 \implies x^2 = a^2$. Потенциальные корни: $x_1 = a$ и $x_2 = -a$.

2. Знаменатель не равен нулю: $x + 4 \neq 0 \implies x \neq -4$.

Необходимо исключить те значения $\text{a}$, при которых корни совпадают с недопустимым значением $x=-4$.

- $a = 4$: потенциальные корни $x=4$ и $x=-4$. Корень $x=-4$ недопустим. Остается единственный корень $x=4$.

- $a = -4$: потенциальные корни $x=-4$ и $x=4$. Корень $x=-4$ недопустим. Остается единственный корень $x=4$.

- $a \neq 4$ и $a \neq -4$: оба корня $x=a$ и $x=-a$ не равны $-4$ и являются решениями.

Ответ: если $a=4$ или $a=-4$, то $x=4$; если $a \neq 4$ и $a \neq -4$, то $x=a$ и $x=-a$.