Номер 9.82, страница 111, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

9.82. 1) $\sqrt[3]{1+\sqrt{x}} = 2-\sqrt[3]{1-\sqrt{x}}$

2) $\sqrt[3]{(1+x)^2} - (\sqrt[3]{1+x}-1) \cdot \sqrt[3]{1+\sqrt[3]{1+x}} = 1$

1)

Исходное уравнение: $\sqrt[3]{1+\sqrt{x}} = 2-\sqrt[3]{1-\sqrt{x}}$.

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется наличием квадратного корня: $x \ge 0$.

Перенесем второе слагаемое из правой части в левую:

$\sqrt[3]{1+\sqrt{x}} + \sqrt[3]{1-\sqrt{x}} = 2$.

Возведем обе части уравнения в куб, используя формулу $(a+b)^3 = a^3+b^3+3ab(a+b)$:

$(\sqrt[3]{1+\sqrt{x}})^3 + (\sqrt[3]{1-\sqrt{x}})^3 + 3\sqrt[3]{(1+\sqrt{x})(1-\sqrt{x})}(\sqrt[3]{1+\sqrt{x}} + \sqrt[3]{1-\sqrt{x}}) = 2^3$.

Упростим левую часть. Заметим, что сумма в скобках в последнем слагаемом равна 2 (согласно нашему преобразованному уравнению):

$(1+\sqrt{x}) + (1-\sqrt{x}) + 3\sqrt[3]{1^2 - (\sqrt{x})^2} \cdot (2) = 8$.

$2 + 6\sqrt[3]{1-x} = 8$.

Теперь решим полученное уравнение:

$6\sqrt[3]{1-x} = 8 - 2$

$6\sqrt[3]{1-x} = 6$

$\sqrt[3]{1-x} = 1$.

Возведем обе части в куб:

$1-x = 1^3$

$1-x = 1$

$x = 0$.

Проверим, удовлетворяет ли корень ОДЗ. $0 \ge 0$, это верно.

Подставим корень в исходное уравнение для проверки:

$\sqrt[3]{1+\sqrt{0}} = 2-\sqrt[3]{1-\sqrt{0}}$

$\sqrt[3]{1} = 2-\sqrt[3]{1}$

$1 = 2-1$

$1 = 1$.

Равенство верное, значит, корень найден правильно.

Ответ: $x=0$

2)

Исходное уравнение: $\sqrt[3]{(1+x)^2} - (\sqrt[3]{1+x} - 1) \cdot \sqrt[3]{1 + \sqrt[3]{1+x}} = 1$.

Ограничений на ОДЗ нет, так как кубический корень определен для любого действительного числа.

Для упрощения введем замену: пусть $a = \sqrt[3]{1+x}$.

Тогда уравнение примет вид:

$a^2 - (a-1)\sqrt[3]{1+a} = 1$.

Перенесем 1 в левую часть и сгруппируем слагаемые:

$a^2 - 1 = (a-1)\sqrt[3]{1+a}$.

Разложим левую часть по формуле разности квадратов:

$(a-1)(a+1) = (a-1)\sqrt[3]{1+a}$.

Это равенство выполняется в двух случаях:

Случай 1: Общий множитель $(a-1)$ равен нулю.

$a-1=0 \implies a=1$.

Сделаем обратную замену:

$\sqrt[3]{1+x} = 1$

$1+x = 1^3$

$x=0$.

Случай 2: Множитель $(a-1)$ не равен нулю, и мы можем разделить на него обе части уравнения.

$a+1 = \sqrt[3]{1+a}$.

Чтобы решить это уравнение, возведем обе части в куб:

$(a+1)^3 = 1+a$.

Перенесем все в левую часть:

$(a+1)^3 - (1+a) = 0$.

Вынесем общий множитель $(a+1)$ за скобки:

$(a+1)((a+1)^2 - 1) = 0$.

Раскроем внутреннюю скобку как разность квадратов:

$(a+1)(a+1-1)(a+1+1) = 0$

$(a+1) \cdot a \cdot (a+2) = 0$.

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:

$a=0$, или $a=-1$, или $a=-2$.

Теперь для каждого значения $\text{a}$ найдем соответствующее значение $\text{x}$:

Если $a=0$: $\sqrt[3]{1+x} = 0 \implies 1+x = 0 \implies x = -1$.

Если $a=-1$: $\sqrt[3]{1+x} = -1 \implies 1+x = (-1)^3 \implies 1+x = -1 \implies x = -2$.

Если $a=-2$: $\sqrt[3]{1+x} = -2 \implies 1+x = (-2)^3 \implies 1+x = -8 \implies x = -9$.

Объединяя решения из обоих случаев, получаем четыре корня.

Ответ: $x \in \{-9, -2, -1, 0\}$