Номер 9.84, страница 111, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

В упражнениях 9.83-9.86 решите уравнения.

9.84. 1) $|x-3|+|x+2|-|x-4|=3$;

2) $|x^2-3x-2|=2$.

1) $|x-3|+|x+2|-|x-4|=3$

Для решения данного уравнения воспользуемся методом интервалов. Найдем точки, в которых выражения под модулем обращаются в ноль: $x-3=0 \implies x=3$; $x+2=0 \implies x=-2$; $x-4=0 \implies x=4$.

Эти точки разбивают числовую прямую на четыре интервала: $(-\infty; -2)$, $[-2; 3)$, $[3; 4)$ и $[4; +\infty)$. Рассмотрим уравнение на каждом из этих интервалов.

1. При $x < -2$:

На этом интервале все три выражения под модулями отрицательны: $x-3<0$, $x+2<0$, $x-4<0$. Раскрываем модули, меняя знак выражений на противоположный:

$-(x-3) - (x+2) - (-(x-4)) = 3$

$-x+3-x-2+x-4=3$

$-x-3=3$

$-x=6$

$x=-6$

Поскольку $-6 < -2$, корень $x=-6$ принадлежит рассматриваемому промежутку и является решением уравнения.

2. При $-2 \le x < 3$:

На этом интервале $x-3<0$, $x+2 \ge 0$, $x-4<0$. Раскрываем модули с учетом знаков:

$-(x-3) + (x+2) - (-(x-4)) = 3$

$-x+3+x+2+x-4=3$

$x+1=3$

$x=2$

Поскольку $-2 \le 2 < 3$, корень $x=2$ принадлежит рассматриваемому промежутку и является решением уравнения.

3. При $3 \le x < 4$:

На этом интервале $x-3 \ge 0$, $x+2 > 0$, $x-4<0$. Раскрываем модули:

$(x-3) + (x+2) - (-(x-4)) = 3$

$x-3+x+2+x-4=3$

$3x-5=3$

$3x=8$

$x=\frac{8}{3}$

Значение $x=8/3 \approx 2.67$ не принадлежит рассматриваемому промежутку $[3; 4)$, следовательно, не является решением.

4. При $x \ge 4$:

На этом интервале все выражения под модулями неотрицательны: $x-3>0$, $x+2>0$, $x-4 \ge 0$. Раскрываем модули, сохраняя знаки:

$(x-3) + (x+2) - (x-4) = 3$

$x-3+x+2-x+4=3$

$x+3=3$

$x=0$

Значение $x=0$ не принадлежит рассматриваемому промежутку $x \ge 4$, следовательно, не является решением.

Объединяя решения, найденные на всех интервалах, получаем итоговый ответ.

Ответ: $-6; 2$.

2) $|x^2-3x-2|=2$

Данное уравнение эквивалентно совокупности двух уравнений, так как модуль числа равен 2, если само число равно 2 или -2.

$x^2-3x-2=2$ или $x^2-3x-2=-2$

Решим первое уравнение:

$x^2-3x-2=2$

$x^2-3x-4=0$

Это квадратное уравнение. Для его решения можно использовать теорему Виета. Сумма корней равна 3, а их произведение равно -4. Подбором находим корни:

$x_1 = 4$

$x_2 = -1$

Или через дискриминант: $D = (-3)^2 - 4(1)(-4) = 9 + 16 = 25$.

$x_{1,2} = \frac{3 \pm \sqrt{25}}{2} = \frac{3 \pm 5}{2}$. Отсюда $x_1 = \frac{8}{2} = 4$, $x_2 = \frac{-2}{2} = -1$.

Решим второе уравнение:

$x^2-3x-2=-2$

$x^2-3x=0$

Вынесем общий множитель $\text{x}$ за скобки:

$x(x-3)=0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:

$x_3=0$ или $x-3=0 \implies x_4=3$.

Объединяя все найденные корни, получаем четыре решения.

Ответ: $-1; 0; 3; 4$.