Номер 9.91, страница 112, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

В упражнениях 9.91–9.93 решите системы уравнений.

9.91. 1) $ \begin{cases} 3x + 5y = 11, \\ 2x - 3y = 17; \end{cases} $

2) $ \begin{cases} 20x - 15y = 51, \\ 4x - 3y = 10,2; \end{cases} $

3) $ \begin{cases} 3x + 5y = 20, \\ 6x + 10y = 7. \end{cases} $

1)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 3x + 5y = 11 \\ 2x - 3y = 17 \end{cases} $

Для решения системы используем метод алгебраического сложения. Умножим первое уравнение на 3, а второе уравнение на 5, чтобы коэффициенты при переменной y стали противоположными по знаку.

Первое уравнение, умноженное на 3:

$3 \cdot (3x + 5y) = 3 \cdot 11 \implies 9x + 15y = 33$

Второе уравнение, умноженное на 5:

$5 \cdot (2x - 3y) = 5 \cdot 17 \implies 10x - 15y = 85$

Получаем новую систему:

$ \begin{cases} 9x + 15y = 33 \\ 10x - 15y = 85 \end{cases} $

Теперь сложим эти два уравнения почленно:

$(9x + 15y) + (10x - 15y) = 33 + 85$

$19x = 118$

$x = \frac{118}{19}$

Подставим найденное значение x в первое исходное уравнение $(3x + 5y = 11)$ для нахождения y:

$3 \cdot \left(\frac{118}{19}\right) + 5y = 11$

$\frac{354}{19} + 5y = 11$

$5y = 11 - \frac{354}{19}$

$5y = \frac{11 \cdot 19}{19} - \frac{354}{19}$

$5y = \frac{209 - 354}{19}$

$5y = -\frac{145}{19}$

$y = -\frac{145}{19 \cdot 5}$

$y = -\frac{29}{19}$

Решение системы: $(x, y) = (\frac{118}{19}, -\frac{29}{19})$.

Ответ: $(\frac{118}{19}; -\frac{29}{19})$.

2)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 20x - 15y = 51 \\ 4x - 3y = 10.2 \end{cases} $

Проанализируем коэффициенты уравнений. Можно заметить, что коэффициенты при x и y в первом уравнении в 5 раз больше, чем во втором: $20 = 5 \cdot 4$ и $-15 = 5 \cdot (-3)$.

Умножим второе уравнение на 5, чтобы проверить, являются ли уравнения эквивалентными:

$5 \cdot (4x - 3y) = 5 \cdot 10.2$

$20x - 15y = 51$

Полученное уравнение полностью совпадает с первым уравнением системы. Это означает, что оба уравнения описывают одну и ту же прямую, и система имеет бесконечное множество решений. Все точки, лежащие на этой прямой, являются решениями системы.

Чтобы описать множество решений, выразим одну переменную через другую, используя второе (более простое) уравнение:

$4x - 3y = 10.2$

$3y = 4x - 10.2$

$y = \frac{4x - 10.2}{3}$

$y = \frac{4}{3}x - 3.4$

Любая пара чисел $(x, y)$, удовлетворяющая этому соотношению, является решением системы.

Ответ: бесконечное множество решений вида $(x, \frac{4}{3}x - 3.4)$, где x — любое действительное число.

3)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 3x + 5y = 20 \\ 6x + 10y = 7 \end{cases} $

Обратим внимание на левые части уравнений. Левая часть второго уравнения в 2 раза больше левой части первого уравнения:

$6x + 10y = 2(3x + 5y)$

Умножим обе части первого уравнения на 2:

$2 \cdot (3x + 5y) = 2 \cdot 20$

$6x + 10y = 40$

Теперь наша система выглядит так:

$ \begin{cases} 6x + 10y = 40 \\ 6x + 10y = 7 \end{cases} $

Мы получили два уравнения, в которых левые части равны, а правые — нет ($40 \neq 7$). Это является противоречием. Если мы вычтем второе уравнение из первого, то получим:

$(6x + 10y) - (6x + 10y) = 40 - 7$

$0 = 33$

Полученное неверное равенство говорит о том, что система несовместна, то есть не имеет решений.

Ответ: нет решений.