Номер 9.52, страница 108, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

9.52. Сумма коэффициентов первого и третьего слагаемых в разложении бинома $(x + \frac{1}{x})^n$ равна 46. Найдите член разложения, не содержащий $\text{x}$.

Формула для $(k+1)$-го члена разложения бинома $(a+b)^n$ имеет вид: $T_{k+1} = C_n^k a^{n-k} b^k$, где $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ — биномиальный коэффициент.

В данном случае $a=x$ и $b=\frac{1}{x}$. Разложение бинома $(x + \frac{1}{x})^n$ записывается как сумма слагаемых, где коэффициент при $(k+1)$-м слагаемом равен $C_n^k$.

Первое слагаемое разложения соответствует $k=0$, его коэффициент равен $C_n^0$. Третье слагаемое разложения соответствует $k=2$, его коэффициент равен $C_n^2$.

По условию задачи, сумма этих коэффициентов равна 46: $C_n^0 + C_n^2 = 46$.

Зная, что $C_n^0 = 1$ и $C_n^2 = \frac{n(n-1)}{2!}=\frac{n(n-1)}{2}$, подставляем эти значения в уравнение: $1 + \frac{n(n-1)}{2} = 46$.

Решим это уравнение относительно $\text{n}$:

$\frac{n(n-1)}{2} = 46 - 1$

$\frac{n(n-1)}{2} = 45$

$n(n-1) = 90$

$n^2 - n - 90 = 0$.

Это квадратное уравнение. Его корни можно найти, например, по теореме Виета. Произведение корней равно $-90$, а сумма равна $\text{1}$. Корнями являются $n_1=10$ и $n_2=-9$. Так как степень бинома $\text{n}$ по определению является целым неотрицательным числом, единственным подходящим решением является $n=10$.

Теперь нам нужно найти член разложения $(x + \frac{1}{x})^{10}$, не содержащий $\text{x}$. Общий член разложения имеет вид: $T_{k+1} = C_{10}^k x^{10-k} (\frac{1}{x})^k = C_{10}^k x^{10-k} x^{-k} = C_{10}^k x^{10-2k}$.

Член разложения не содержит $\text{x}$, если показатель степени $\text{x}$ равен нулю:

$10 - 2k = 0$

$2k = 10$

$k = 5$.

Следовательно, искомый член разложения соответствует $k=5$. Это шестой член разложения ($T_{5+1}$). Найдем его значение: $T_6 = C_{10}^5 x^{10-2 \cdot 5} = C_{10}^5 x^0 = C_{10}^5$.

Вычислим биномиальный коэффициент $C_{10}^5$:

$C_{10}^5 = \frac{10!}{5!(10-5)!} = \frac{10!}{5!5!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$.

Сокращая дробь, получаем:

$C_{10}^5 = \frac{(5 \cdot 2) \cdot (3 \cdot 3) \cdot (4 \cdot 2) \cdot 7 \cdot 6}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 2 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 6 = 252$.

Или так: $10/(5 \cdot 2)=1$; $9/3=3$; $8/4=2$. Остается $3 \cdot 2 \cdot 7 \cdot 6 = 252$.

Таким образом, член разложения, не содержащий $\text{x}$, равен 252.

Ответ: 252.