Номер 9.48, страница 107, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

9.48. Докажите следующую формулу (бином Ньютона):

$(a+b)^n = C_n^0 a^n + C_n^1 a^{n-1}b + C_n^2 a^{n-2}b^2 + \dots + C_n^{n-1}ab^{n-1} + C_n^n b^n$.

Доказательство формулы бинома Ньютона проведем методом математической индукции по натуральному показателю степени n.

Формула, которую нужно доказать:

$(a + b)^n = C_n^0 a^n + C_n^1 a^{n-1}b + C_n^2 a^{n-2}b^2 + \ldots + C_n^{n-1} ab^{n-1} + C_n^n b^n$, что можно записать в сжатом виде как $(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k a^{n-k} b^k$.

База индукции

Проверим справедливость формулы для $n=1$.

Левая часть: $(a + b)^1 = a + b$.

Правая часть: $C_1^0 a^{1-0}b^0 + C_1^1 a^{1-1}b^1 = C_1^0 a + C_1^1 b$.

По определению биномиальных коэффициентов $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$, имеем:

$C_1^0 = \frac{1!}{0!(1-0)!} = 1$

$C_1^1 = \frac{1!}{1!(1-1)!} = 1$

Тогда правая часть равна $1 \cdot a + 1 \cdot b = a + b$.

Так как левая и правая части равны ($a+b = a+b$), формула верна для $n=1$.

Индукционное предположение

Предположим, что формула верна для некоторого натурального числа $n=m$, где $m \ge 1$. То есть, мы считаем истинным следующее равенство:

$(a+b)^m = \sum_{k=0}^{m} C_m^k a^{m-k} b^k = C_m^0 a^m + C_m^1 a^{m-1}b + \ldots + C_m^m b^m$.

Индукционный шаг

Докажем, что из истинности утверждения для $n=m$ следует его истинность для $n=m+1$. Нам нужно доказать, что:

$(a+b)^{m+1} = \sum_{k=0}^{m+1} C_{m+1}^k a^{m+1-k} b^k$.

Рассмотрим левую часть этого равенства и преобразуем её, используя индукционное предположение:

$(a+b)^{m+1} = (a+b)(a+b)^m = (a+b) \left( \sum_{k=0}^{m} C_m^k a^{m-k} b^k \right)$.

Раскроем скобки:

$(a+b)^{m+1} = a \sum_{k=0}^{m} C_m^k a^{m-k} b^k + b \sum_{k=0}^{m} C_m^k a^{m-k} b^k$.

$(a+b)^{m+1} = \sum_{k=0}^{m} C_m^k a^{m-k+1} b^k + \sum_{k=0}^{m} C_m^k a^{m-k} b^{k+1}$.

Рассмотрим две полученные суммы. Во второй сумме произведем замену индекса суммирования. Пусть $j = k+1$. Тогда $k=j-1$. Когда $\text{k}$ изменяется от $\text{0}$ до $\text{m}$, $\text{j}$ изменяется от $\text{1}$ до $m+1$.

Вторая сумма примет вид: $\sum_{j=1}^{m+1} C_m^{j-1} a^{m-(j-1)} b^j = \sum_{j=1}^{m+1} C_m^{j-1} a^{m+1-j} b^j$.

Вернемся к обозначению индекса $\text{k}$ вместо $\text{j}$ для удобства: $\sum_{k=1}^{m+1} C_m^{k-1} a^{m+1-k} b^k$.

Теперь подставим это обратно в наше выражение:

$(a+b)^{m+1} = \sum_{k=0}^{m} C_m^k a^{m+1-k} b^k + \sum_{k=1}^{m+1} C_m^{k-1} a^{m+1-k} b^k$.

Выделим из первой суммы слагаемое для $k=0$, а из второй — слагаемое для $k=m+1$, чтобы оставшиеся суммы имели одинаковые пределы:

$(a+b)^{m+1} = \left( C_m^0 a^{m+1} + \sum_{k=1}^{m} C_m^k a^{m+1-k} b^k \right) + \left( \sum_{k=1}^{m} C_m^{k-1} a^{m+1-k} b^k + C_m^m b^{m+1} \right)$.

Сгруппируем слагаемые:

$(a+b)^{m+1} = C_m^0 a^{m+1} + \sum_{k=1}^{m} \left( C_m^k + C_m^{k-1} \right) a^{m+1-k} b^k + C_m^m b^{m+1}$.

Используем тождество Паскаля: $C_n^k + C_n^{k-1} = C_{n+1}^k$. В нашем случае $C_m^k + C_m^{k-1} = C_{m+1}^k$.

Также учтем, что $C_m^0 = 1 = C_{m+1}^0$ и $C_m^m = 1 = C_{m+1}^{m+1}$.

Подставим эти значения в наше равенство:

$(a+b)^{m+1} = C_{m+1}^0 a^{m+1} + \sum_{k=1}^{m} C_{m+1}^k a^{m+1-k} b^k + C_{m+1}^{m+1} b^{m+1}$.

Первое слагаемое ($C_{m+1}^0 a^{m+1}$) соответствует $k=0$ в искомой сумме. Сумма $\sum_{k=1}^{m}$ покрывает слагаемые от $k=1$ до $k=m$. Последнее слагаемое ($C_{m+1}^{m+1} b^{m+1}$) соответствует $k=m+1$. Таким образом, мы можем объединить все три части в одну сумму по $\text{k}$ от $\text{0}$ до $m+1$:

$(a+b)^{m+1} = \sum_{k=0}^{m+1} C_{m+1}^k a^{m+1-k} b^k$.

Мы получили выражение для $n=m+1$ в требуемой форме. Таким образом, индукционный шаг доказан.

Поскольку база индукции верна и индукционный шаг доказан, по принципу математической индукции формула бинома Ньютона верна для любого натурального числа $\text{n}$.

Ответ: Формула бинома Ньютона доказана методом математической индукции.