Номер 9.42, страница 107, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

9.42. Найдите сумму ряда:

1) $1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{9} - \frac{1}{27} + \dots$;

2) $1 + \frac{1}{5} + \frac{1}{25} + \frac{1}{125} + \dots$.

1) Заданный ряд $1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{9} - \frac{1}{27} + \dots$ является суммой членов бесконечной геометрической прогрессии. Первый член этой прогрессии $b_1 = 1$. Знаменатель прогрессии $\text{q}$ можно найти, разделив второй член на первый: $q = \frac{-1/3}{1} = -\frac{1}{3}$. Поскольку модуль знаменателя $|q| = |-\frac{1}{3}| = \frac{1}{3} < 1$, прогрессия является бесконечно убывающей, и ее сумма существует. Сумма $\text{S}$ бесконечно убывающей геометрической прогрессии вычисляется по формуле: $S = \frac{b_1}{1 - q}$. Подставим значения $b_1$ и $\text{q}$: $S = \frac{1}{1 - (-\frac{1}{3})} = \frac{1}{1 + \frac{1}{3}} = \frac{1}{\frac{3}{3} + \frac{1}{3}} = \frac{1}{\frac{4}{3}} = \frac{3}{4}$.

Ответ: $\frac{3}{4}$.

2) Ряд $1 + \frac{1}{5} + \frac{1}{25} + \frac{1}{125} + \dots$ также представляет собой сумму членов бесконечной геометрической прогрессии. Первый член прогрессии $b_1 = 1$. Найдем знаменатель прогрессии $\text{q}$: $q = \frac{1/5}{1} = \frac{1}{5}$. Модуль знаменателя $|q| = |\frac{1}{5}| = \frac{1}{5} < 1$, следовательно, ряд сходится, и его сумму можно вычислить. Используем формулу суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии: $S = \frac{b_1}{1 - q}$. Подставим значения $b_1$ и $\text{q}$: $S = \frac{1}{1 - \frac{1}{5}} = \frac{1}{\frac{5}{5} - \frac{1}{5}} = \frac{1}{\frac{4}{5}} = \frac{5}{4}$.

Ответ: $\frac{5}{4}$.