Номер 9.37, страница 106, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

9.37. Найдите первый член и знаменатель геометрической прогрессии:

1) $b_2 = 7, b_8 = -1;$

2) $b_3 = 2, b_6 = 8;$

3) $b_{12} = -131, b_{18} = 243;$

4) $b_2 + b_3 = 7, b_3 + b_4 = 49.$

1) Дано: $b_2 = 7$, $b_3 = -1$.

Для нахождения знаменателя геометрической прогрессии $\text{q}$ разделим третий член на второй:

$q = \frac{b_3}{b_2} = \frac{-1}{7}$

Первый член прогрессии $b_1$ найдем, используя формулу для второго члена $b_2 = b_1 \cdot q$:

$b_1 = \frac{b_2}{q} = \frac{7}{-1/7} = 7 \cdot (-7) = -49$

Ответ: $b_1 = -49$, $q = -1/7$.

2) Дано: $b_3 = 2$, $b_5 = 8$.

Формула n-го члена геометрической прогрессии $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$. Также можно выразить один член через другой: $b_m = b_k \cdot q^{m-k}$.

Используем эту связь для $b_5$ и $b_3$: $b_5 = b_3 \cdot q^{5-3} = b_3 \cdot q^2$.

Отсюда найдем $q^2$:

$q^2 = \frac{b_5}{b_3} = \frac{8}{2} = 4$

Из этого уравнения получаем два возможных значения для знаменателя: $q = 2$ или $q = -2$.

Теперь найдем первый член $b_1$ из формулы $b_3 = b_1 \cdot q^2$:

$b_1 = \frac{b_3}{q^2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

Значение $b_1$ не зависит от знака $\text{q}$, так как $\text{q}$ входит в уравнение в квадрате. Таким образом, у задачи два решения.

Ответ: $b_1 = 1/2$, $q = 2$ или $b_1 = 1/2$, $q = -2$.

3) Дано: $b_{12} = -131$, $b_{15} = 243$.

Используем соотношение между членами прогрессии: $b_{15} = b_{12} \cdot q^{15-12} = b_{12} \cdot q^3$.

Выразим и найдем $q^3$:

$q^3 = \frac{b_{15}}{b_{12}} = \frac{243}{-131} = -\frac{243}{131}$

Следовательно, знаменатель $\text{q}$ равен:

$q = \sqrt[3]{-\frac{243}{131}} = -\sqrt[3]{\frac{243}{131}}$

Для нахождения первого члена $b_1$ используем формулу $b_{12} = b_1 \cdot q^{11}$:

$b_1 = \frac{b_{12}}{q^{11}} = \frac{-131}{(-\sqrt[3]{243/131})^{11}} = \frac{-131}{-(\frac{243}{131})^{11/3}} = 131 \cdot \left(\frac{131}{243}\right)^{11/3}$

Ответ: $b_1 = 131 \cdot (\frac{131}{243})^{11/3}$, $q = -\sqrt[3]{\frac{243}{131}}$.

4) Дано: $b_2 + b_3 = 7$, $b_3 + b_4 = 49$.

Запишем систему уравнений, используя формулу n-го члена $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$:

$\begin{cases} b_1 q + b_1 q^2 = 7 \\ b_1 q^2 + b_1 q^3 = 49 \end{cases}$

Вынесем общие множители в каждом уравнении:

$\begin{cases} b_1 q (1 + q) = 7 \\ b_1 q^2 (1 + q) = 49 \end{cases}$

Поскольку правые части уравнений не равны нулю (что означает $b_1 \neq 0$, $q \neq 0$ и $q \neq -1$), мы можем разделить второе уравнение на первое:

$\frac{b_1 q^2 (1 + q)}{b_1 q (1 + q)} = \frac{49}{7}$

После сокращения общих множителей получаем:

$q = 7$

Теперь подставим значение $q=7$ в первое уравнение системы для нахождения $b_1$:

$b_1 \cdot 7 \cdot (1 + 7) = 7$

$b_1 \cdot 7 \cdot 8 = 7$

$56 b_1 = 7$

$b_1 = \frac{7}{56} = \frac{1}{8}$

Ответ: $b_1 = 1/8$, $q = 7$.