Номер 9.34, страница 106, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

9.34. Найдите сумму первых 10 членов арифметической прогрессии:

1) $a_2 = 7, a_4 = 11;$

2) $a_3 = 5, a_8 = 13;$

3) $a_5 + a_6 = 11.$

1) a₂ = 7, a₄ = 11;

Для нахождения суммы первых 10 членов арифметической прогрессии $S_{10}$ воспользуемся формулой $S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$, где $a_1$ — первый член прогрессии, а $\text{d}$ — её разность.

Сначала найдем $a_1$ и $\text{d}$. Формула $\text{n}$-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + d(n-1)$.

Используя данные из условия, составим систему уравнений:

$a_2 = a_1 + d(2-1) = a_1 + d = 7$

$a_4 = a_1 + d(4-1) = a_1 + 3d = 11$

Вычтем первое уравнение из второго:

$(a_1 + 3d) - (a_1 + d) = 11 - 7$

$2d = 4$

$d = 2$

Теперь подставим значение $\text{d}$ в первое уравнение, чтобы найти $a_1$:

$a_1 + 2 = 7$

$a_1 = 5$

Теперь, зная $a_1 = 5$ и $d = 2$, мы можем вычислить сумму первых 10 членов прогрессии:

$S_{10} = \frac{2a_1 + d(10-1)}{2} \cdot 10 = \frac{2 \cdot 5 + 2 \cdot 9}{2} \cdot 10 = \frac{10 + 18}{2} \cdot 10 = \frac{28}{2} \cdot 10 = 14 \cdot 10 = 140$.

Ответ: 140.

2) a₃ = 5, a₈ = 13;

Аналогично первому пункту, сначала определим первый член $a_1$ и разность $\text{d}$ прогрессии.

Составим систему уравнений на основе формулы $a_n = a_1 + d(n-1)$:

$a_3 = a_1 + d(3-1) = a_1 + 2d = 5$

$a_8 = a_1 + d(8-1) = a_1 + 7d = 13$

Вычтем первое уравнение из второго:

$(a_1 + 7d) - (a_1 + 2d) = 13 - 5$

$5d = 8$

$d = \frac{8}{5}$

Подставим $\text{d}$ в первое уравнение для нахождения $a_1$:

$a_1 + 2 \cdot \frac{8}{5} = 5$

$a_1 + \frac{16}{5} = 5$

$a_1 = 5 - \frac{16}{5} = \frac{25-16}{5} = \frac{9}{5}$

Теперь вычислим сумму $S_{10}$, используя найденные значения $a_1 = \frac{9}{5}$ и $d = \frac{8}{5}$:

$S_{10} = \frac{2a_1 + d(10-1)}{2} \cdot 10 = \frac{2 \cdot \frac{9}{5} + \frac{8}{5} \cdot 9}{2} \cdot 10 = \frac{\frac{18}{5} + \frac{72}{5}}{2} \cdot 10 = \frac{\frac{90}{5}}{2} \cdot 10 = \frac{18}{2} \cdot 10 = 9 \cdot 10 = 90$.

Ответ: 90.

3) a₅ + a₆ = 11.

Для решения этого пункта воспользуемся свойством арифметической прогрессии: сумма членов, равноудаленных от концов, постоянна и равна сумме первого и последнего членов. Для суммы первых 10 членов это свойство выглядит так:

$a_1 + a_{10} = a_2 + a_9 = a_3 + a_8 = a_4 + a_7 = a_5 + a_6$

Из условия нам известно, что $a_5 + a_6 = 11$. Следовательно, $a_1 + a_{10} = 11$.

Теперь используем вторую формулу для суммы $\text{n}$ членов арифметической прогрессии: $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$.

Для $n=10$ получаем:

$S_{10} = \frac{a_1 + a_{10}}{2} \cdot 10$

Подставим известное значение $a_1 + a_{10} = 11$ в формулу:

$S_{10} = \frac{11}{2} \cdot 10 = 11 \cdot 5 = 55$.

Ответ: 55.