Номер 9.30, страница 105, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

9.30. Напишите формулу общего члена последовательности:

1) $1, \frac{1}{4}, \frac{1}{9}, \frac{1}{16}, \dots$

2) $3, 6, 12, 24, 48, \dots$

3) $1, \frac{2}{101}, \frac{4}{201}, \frac{8}{301}, \dots$

4) $\frac{2}{3}, -\frac{4}{9}, \frac{8}{27}, -\frac{16}{81}, \dots$

1) Рассмотрим члены последовательности: $a_1=1$, $a_2=\frac{1}{4}$, $a_3=\frac{1}{9}$, $a_4=\frac{1}{16}$, ... .

Можно представить эти члены в виде $a_1=\frac{1}{1}$, $a_2=\frac{1}{4}$, $a_3=\frac{1}{9}$, $a_4=\frac{1}{16}$.

Видно, что числитель каждого члена равен 1, а знаменатели являются квадратами их порядковых номеров: $1=1^2$, $4=2^2$, $9=3^2$, $16=4^2$.

Следовательно, знаменатель n-го члена последовательности равен $n^2$.

Таким образом, формула общего члена: $a_n = \frac{1}{n^2}$.

Ответ: $a_n = \frac{1}{n^2}$.

2) Рассмотрим последовательность: $3, 6, 12, 24, 48, ...$ .

Заметим, что каждый следующий член в 2 раза больше предыдущего: $6=3 \cdot 2$, $12=6 \cdot 2$, $24=12 \cdot 2$ и так далее.

Это означает, что последовательность является геометрической прогрессией с первым членом $a_1 = 3$ и знаменателем $q = 2$.

Формула n-го члена геометрической прогрессии: $a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$.

Подставив значения $a_1$ и $\text{q}$, получаем формулу общего члена данной последовательности: $a_n = 3 \cdot 2^{n-1}$.

Ответ: $a_n = 3 \cdot 2^{n-1}$.

3) Рассмотрим последовательность: $a_1=1, a_2=\frac{2}{101}, a_3=\frac{4}{201}, a_4=\frac{8}{301}, ...$ .

Проанализируем числители и знаменатели отдельно.

Числители членов: $1, 2, 4, 8, ...$ . Это степени двойки: $2^0, 2^1, 2^2, 2^3, ...$ . Числитель n-го члена равен $2^{n-1}$.

Знаменатели членов: $1, 101, 201, 301, ...$ (предполагая, что $a_1 = \frac{1}{1}$). Эту последовательность можно описать так: $101 = 100 \cdot 1 + 1$, $201 = 100 \cdot 2 + 1$, $301 = 100 \cdot 3 + 1$. Видно, что для n-го члена ($n>1$) знаменатель равен $100 \cdot (n-1) + 1$. Проверим эту формулу для $n=1$: $100 \cdot (1-1) + 1 = 1$. Формула верна для всех членов.

Объединяя формулы для числителя и знаменателя, получаем общую формулу:

$a_n = \frac{2^{n-1}}{100(n-1)+1}$.

Ответ: $a_n = \frac{2^{n-1}}{100(n-1)+1}$.

4) Рассмотрим последовательность: $\frac{2}{3}, -\frac{4}{9}, \frac{8}{27}, -\frac{16}{81}, ...$ .

Эта последовательность является знакочередующейся, знаки членов меняются по правилу $+, -, +, -, ...$. Такую смену знаков можно описать множителем $(-1)^{n-1}$.

Теперь рассмотрим модули членов последовательности: $\frac{2}{3}, \frac{4}{9}, \frac{8}{27}, \frac{16}{81}, ...$.

Числители этих дробей $2, 4, 8, 16, ...$ образуют последовательность $2^n$.

Знаменатели $3, 9, 27, 81, ...$ образуют последовательность $3^n$.

Таким образом, модуль n-го члена равен $\frac{2^n}{3^n} = (\frac{2}{3})^n$.

Совмещая знак и модуль, получаем формулу общего члена: $a_n = (-1)^{n-1} (\frac{2}{3})^n$.

Альтернативно, можно заметить, что это геометрическая прогрессия, где каждый следующий член получается умножением предыдущего на одно и то же число (знаменатель прогрессии $\text{q}$).

$q = \frac{a_2}{a_1} = \frac{-4/9}{2/3} = -\frac{4}{9} \cdot \frac{3}{2} = -\frac{2}{3}$.

Первый член $a_1 = \frac{2}{3}$. По формуле n-го члена геометрической прогрессии $a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$, получаем $a_n = \frac{2}{3} \cdot (-\frac{2}{3})^{n-1}$, что является эквивалентной формой записи.

Ответ: $a_n = (-1)^{n-1} (\frac{2}{3})^n$.