Номер 9.23, страница 105, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

В упражнениях 9.21–9.28 упростите выражения.

9.23.$ \left( \frac{1}{a^3} + \frac{1}{b^3} \right) \cdot \left( \frac{a(b-a)}{a^2 - ab + b^2} + 1 \right) $

9.23. Для упрощения данного выражения выполним преобразования по шагам, работая с каждой скобкой отдельно.

1. Преобразуем выражение в первой скобке. Для этого приведем дроби к общему знаменателю $a^3b^3$.

$ \frac{1}{a^3} + \frac{1}{b^3} = \frac{b^3}{a^3b^3} + \frac{a^3}{a^3b^3} = \frac{a^3 + b^3}{a^3b^3} $

Используем формулу сокращенного умножения для суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$.

$ \frac{(a+b)(a^2-ab+b^2)}{a^3b^3} $

2. Теперь преобразуем выражение во второй скобке. Приведем слагаемые к общему знаменателю $a^2-ab+b^2$.

$ \frac{a(b-a)}{a^2-ab+b^2} + 1 = \frac{a(b-a)}{a^2-ab+b^2} + \frac{a^2-ab+b^2}{a^2-ab+b^2} $

Сложим числители, оставив знаменатель прежним.

$ \frac{a(b-a) + (a^2-ab+b^2)}{a^2-ab+b^2} = \frac{ab - a^2 + a^2-ab+b^2}{a^2-ab+b^2} $

Приведем подобные слагаемые в числителе.

$ \frac{(ab-ab) + (-a^2+a^2) + b^2}{a^2-ab+b^2} = \frac{b^2}{a^2-ab+b^2} $

3. На последнем шаге перемножим результаты преобразований первой и второй скобок.

$ \left(\frac{(a+b)(a^2-ab+b^2)}{a^3b^3}\right) \cdot \left(\frac{b^2}{a^2-ab+b^2}\right) $

Сократим общий множитель $(a^2-ab+b^2)$, который присутствует в числителе первого выражения и знаменателе второго.

$ \frac{(a+b) \cdot b^2}{a^3b^3} $

Сократим дробь на $b^2$.

$ \frac{a+b}{a^3b^{3-2}} = \frac{a+b}{a^3b} $

Ответ: $ \frac{a+b}{a^3b} $