Номер 9.17, страница 104, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

9.17. Разложите на множители:

1) $9(x+5)^2 - (x-7)^2$;

2) $49(y-4)^2 - 9(y+2)^2$;

3) $x^3 + y^3 + 2xy(x+y)$;

4) $5a^2 - 5 - 4(a-1)^2$;

5) $2(x+y)^2 + x^2 - y^2$;

6) $a^2 + ab^3 - a^3b - b^4$;

7) $(x-y+4)^2 - x^2 + 2xy - y^2$;

8) $(a-b)^3 + (a+b)^3$;

9) $(x+2y)^3 + (2x-y)^3$.

1) Выражение $9(x + 5)^2 - (x - 7)^2$ представляет собой разность квадратов. Применим формулу $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

В данном случае $a = \sqrt{9(x+5)^2} = 3(x+5)$ и $b = \sqrt{(x-7)^2} = x-7$.

$(3(x+5) - (x-7))(3(x+5) + (x-7))$

Раскроем скобки и упростим каждое выражение в скобках:

$(3x + 15 - x + 7)(3x + 15 + x - 7) = (2x + 22)(4x + 8)$

Вынесем общие множители из каждой скобки:

$2(x + 11) \cdot 4(x + 2) = 8(x + 11)(x + 2)$

Ответ: $8(x+11)(x+2)$.

2) Выражение $49(y - 4)^2 - 9(y + 2)^2$ также является разностью квадратов.

Здесь $a = \sqrt{49(y-4)^2} = 7(y-4)$ и $b = \sqrt{9(y+2)^2} = 3(y+2)$.

$(7(y-4) - 3(y+2))(7(y-4) + 3(y+2))$

Раскроем скобки и упростим:

$(7y - 28 - 3y - 6)(7y - 28 + 3y + 6) = (4y - 34)(10y - 22)$

Вынесем общие множители:

$2(2y - 17) \cdot 2(5y - 11) = 4(2y - 17)(5y - 11)$

Ответ: $4(2y-17)(5y-11)$.

3) В выражении $x^3 + y^3 + 2xy(x + y)$ применим формулу суммы кубов $x^3 + y^3 = (x+y)(x^2-xy+y^2)$.

$(x+y)(x^2-xy+y^2) + 2xy(x+y)$

Вынесем общий множитель $(x+y)$ за скобки:

$(x+y)((x^2-xy+y^2) + 2xy)$

Упростим выражение во вторых скобках:

$(x+y)(x^2+xy+y^2)$

Ответ: $(x+y)(x^2+xy+y^2)$.

4) В выражении $5a^2 - 5 - 4(a - 1)^2$ сгруппируем первые два слагаемых и вынесем общий множитель.

$5(a^2 - 1) - 4(a - 1)^2$

Применим формулу разности квадратов к $a^2-1$:

$5(a - 1)(a + 1) - 4(a - 1)^2$

Вынесем общий множитель $(a-1)$ за скобки:

$(a - 1)(5(a + 1) - 4(a - 1))$

Упростим выражение во вторых скобках:

$(a - 1)(5a + 5 - 4a + 4) = (a - 1)(a + 9)$

Ответ: $(a-1)(a+9)$.

5) В выражении $2(x + y)^2 + x^2 - y^2$ разложим $x^2 - y^2$ по формуле разности квадратов.

$2(x + y)^2 + (x - y)(x + y)$

Вынесем общий множитель $(x+y)$ за скобки:

$(x + y)(2(x + y) + (x - y))$

Упростим выражение во вторых скобках:

$(x + y)(2x + 2y + x - y) = (x + y)(3x + y)$

Ответ: $(x+y)(3x+y)$.

6) Выражение $a^2 + ab^3 - a^3b - b^4$, по-видимому, содержит опечатку, так как оно не разлагается на множители с целыми коэффициентами стандартными школьными методами группировки. Одной из возможных версий правильного условия, которое легко решается, является $a^3 - a^2b + ab^2 - b^3$. Решим этот вариант.

Сгруппируем слагаемые: $(a^3 - a^2b) + (ab^2 - b^3)$.

Вынесем общие множители из каждой группы: $a^2(a-b) + b^2(a-b)$.

Вынесем общий множитель $(a-b)$ за скобки: $(a-b)(a^2+b^2)$.

Ответ: для предполагаемого выражения $a^3 - a^2b + ab^2 - b^3$ разложение имеет вид $(a-b)(a^2+b^2)$.

7) В выражении $(x - y + 4)^2 - x^2 + 2xy - y^2$ вынесем знак минус у последних трёх слагаемых.

$(x - y + 4)^2 - (x^2 - 2xy + y^2)$

Выражение в скобках является полным квадратом: $x^2 - 2xy + y^2 = (x-y)^2$.

$(x - y + 4)^2 - (x - y)^2$

Применим формулу разности квадратов $A^2-B^2=(A-B)(A+B)$, где $A=x-y+4$ и $B=x-y$.

$((x - y + 4) - (x - y))((x - y + 4) + (x - y))$

Упростим выражения в скобках:

$(x - y + 4 - x + y)(x - y + 4 + x - y) = (4)(2x - 2y + 4)$

Вынесем общий множитель 2 из второй скобки:

$4 \cdot 2(x - y + 2) = 8(x - y + 2)$

Ответ: $8(x-y+2)$.

8) Для разложения $(a - b)^3 + (a + b)^3$ используем формулу суммы кубов $A^3 + B^3 = (A+B)(A^2-AB+B^2)$.

Здесь $A = a-b$ и $B=a+b$.

Первый множитель: $A+B = (a-b)+(a+b) = 2a$.

Второй множитель: $A^2-AB+B^2 = (a-b)^2 - (a-b)(a+b) + (a+b)^2$.

Раскроем скобки и упростим:

$(a^2-2ab+b^2) - (a^2-b^2) + (a^2+2ab+b^2) = a^2-2ab+b^2-a^2+b^2+a^2+2ab+b^2 = a^2+3b^2$.

Перемножим множители: $2a(a^2+3b^2)$.

Ответ: $2a(a^2+3b^2)$.

9) Для разложения $(x + 2y)^3 + (2x - y)^3$ также используем формулу суммы кубов $A^3 + B^3 = (A+B)(A^2-AB+B^2)$.

Здесь $A = x+2y$ и $B = 2x-y$.

Первый множитель: $A+B = (x+2y)+(2x-y) = 3x+y$.

Второй множитель: $A^2-AB+B^2 = (x+2y)^2 - (x+2y)(2x-y) + (2x-y)^2$.

Раскроем скобки:

$(x^2+4xy+4y^2) - (2x^2-xy+4xy-2y^2) + (4x^2-4xy+y^2)$

$(x^2+4xy+4y^2) - (2x^2+3xy-2y^2) + (4x^2-4xy+y^2)$

Приведём подобные слагаемые:

$x^2+4xy+4y^2 - 2x^2-3xy+2y^2 + 4x^2-4xy+y^2 = 3x^2-3xy+7y^2$.

Перемножим множители: $(3x+y)(3x^2-3xy+7y^2)$.

Ответ: $(3x+y)(3x^2-3xy+7y^2)$.