Номер 9.13, страница 103, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

9.13. Сравните числа:

1) $\sqrt{0,63}$ и $\sqrt{0,83}$;

2) $\sqrt{0,63}$ и $\sqrt[3]{0,63}$;

3) $\sqrt{1,63}$ и $\sqrt[3]{1,63}$;

4) $\sqrt{2}$ и $\sqrt[3]{3}$.

1) Для сравнения чисел $\sqrt{0,63}$ и $\sqrt{0,83}$ воспользуемся свойством возрастания функции $y = \sqrt{x}$ для $x \geq 0$. Это означает, что если одно неотрицательное число больше другого, то и его квадратный корень будет больше. Сравним подкоренные выражения: $0,63$ и $0,83$. Так как $0,63 < 0,83$, то и $\sqrt{0,63} < \sqrt{0,83}$.

Ответ: $\sqrt{0,63} < \sqrt{0,83}$.

2) Для сравнения чисел $\sqrt{0,63}$ и $\sqrt[3]{0,63}$ приведем их к одному показателю корня. Наименьшее общее кратное для показателей 2 и 3 равно 6. Возведем оба числа в 6-ю степень. Поскольку оба числа положительны, знак неравенства между ними будет таким же, как и между их 6-ми степенями.

$(\sqrt{0,63})^6 = (0,63^{1/2})^6 = 0,63^3$.

$(\sqrt[3]{0,63})^6 = (0,63^{1/3})^6 = 0,63^2$.

Теперь сравним $0,63^3$ и $0,63^2$. Для числа $\text{a}$, где $0 < a < 1$, выполняется свойство: чем больше показатель степени, тем меньше значение. Так как $0 < 0,63 < 1$ и $3 > 2$, то $0,63^3 < 0,63^2$.

Следовательно, $\sqrt{0,63} < \sqrt[3]{0,63}$.

Ответ: $\sqrt{0,63} < \sqrt[3]{0,63}$.

3) Для сравнения чисел $\sqrt{1,63}$ и $\sqrt[3]{1,63}$ поступим аналогично предыдущему пункту. Возведем оба числа в 6-ю степень.

$(\sqrt{1,63})^6 = (1,63^{1/2})^6 = 1,63^3$.

$(\sqrt[3]{1,63})^6 = (1,63^{1/3})^6 = 1,63^2$.

Теперь сравним $1,63^3$ и $1,63^2$. Для числа $\text{b}$, где $b > 1$, выполняется свойство: чем больше показатель степени, тем больше значение. Так как $1,63 > 1$ и $3 > 2$, то $1,63^3 > 1,63^2$.

Следовательно, $\sqrt{1,63} > \sqrt[3]{1,63}$.

Ответ: $\sqrt{1,63} > \sqrt[3]{1,63}$.

4) Для сравнения чисел $\sqrt{2}$ и $\sqrt[3]{3}$ возведем их в 6-ю степень (наименьшее общее кратное показателей корней 2 и 3).

$(\sqrt{2})^6 = (2^{1/2})^6 = 2^{6/2} = 2^3 = 8$.

$(\sqrt[3]{3})^6 = (3^{1/3})^6 = 3^{6/3} = 3^2 = 9$.

Сравним полученные результаты: $8 < 9$.

Поскольку $8 < 9$, то и исходные числа находятся в том же соотношении: $\sqrt{2} < \sqrt[3]{3}$.

Ответ: $\sqrt{2} < \sqrt[3]{3}$.