Номер 9.6, страница 102, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

9.6. Докажите, что разность куба натурального числа и самого числа делится на 6.

9.6. Пусть $\text{n}$ — произвольное натуральное число. Нам необходимо доказать, что разность $n^3 - n$ делится на 6.

Для доказательства преобразуем данное выражение, разложив его на множители. Вынесем общий множитель $\text{n}$ за скобки:

$n^3 - n = n(n^2 - 1)$

Выражение в скобках $n^2 - 1$ является разностью квадратов, которую можно разложить по формуле $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$. Получаем:

$n(n^2 - 1) = n(n - 1)(n + 1)$

Переставив множители для наглядности, мы видим, что выражение представляет собой произведение трёх последовательных целых чисел:

$(n - 1)n(n + 1)$

Чтобы число делилось на 6, оно должно одновременно делиться на 2 и на 3, так как 2 и 3 — взаимно простые числа и $2 \cdot 3 = 6$.

Рассмотрим делимость этого произведения.

Во-первых, среди любых двух последовательных чисел одно обязательно является чётным (делится на 2). В нашем произведении $(n - 1)n(n + 1)$ есть как минимум одна пара последовательных чисел (например, $n-1$ и $\text{n}$). Значит, хотя бы один из множителей делится на 2, а следовательно, и всё произведение делится на 2.

Во-вторых, среди любых трёх последовательных чисел одно обязательно делится на 3. Так как множители $(n - 1)$, $\text{n}$ и $(n + 1)$ и есть три последовательных числа, то одно из них кратно 3. Следовательно, всё произведение делится на 3.

Поскольку выражение $n^3 - n = (n - 1)n(n + 1)$ делится и на 2, и на 3, оно также делится на их произведение, то есть на 6.

Таким образом, утверждение доказано.

Ответ: Что и требовалось доказать.