Номер 9.4, страница 102, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

9.4. Докажите, что для любого натурального числа $\text{n}$:

1) число $n^4 - n^2$ делится на 12;

2) число $n^9 - n^3$ делится на 504;

3) число $5^n - 5$ делится на 20;

4) число $7^n - 7$ делится на 42.

1)

Чтобы доказать, что число $n^4 - n^2$ делится на 12 для любого натурального числа $\text{n}$, нужно доказать его делимость на 3 и на 4, поскольку числа 3 и 4 взаимно просты и их произведение равно 12.

Сначала разложим выражение на множители:

$n^4 - n^2 = n^2(n^2 - 1) = n^2(n - 1)(n + 1) = (n - 1)n(n + 1)n$.

Докажем делимость на 3.

Выражение $(n - 1)n(n + 1)$ является произведением трех последовательных натуральных чисел. Среди любых трех последовательных чисел одно обязательно делится на 3. Следовательно, их произведение $(n - 1)n(n + 1)$ делится на 3, а значит и все выражение $(n - 1)n(n + 1)n$ делится на 3.

Докажем делимость на 4.

Рассмотрим два возможных случая для числа $\text{n}$.

Случай 1: $\text{n}$ — четное число.

Пусть $n = 2k$ для некоторого натурального $\text{k}$. Тогда $n^2 = (2k)^2 = 4k^2$. Так как $n^2$ делится на 4, то и все произведение $n^2(n-1)(n+1)$ делится на 4.

Случай 2: $\text{n}$ — нечетное число.

Пусть $n = 2k + 1$ для некоторого целого $k \ge 0$. Тогда множители $(n-1)$ и $(n+1)$ будут четными числами: $n - 1 = 2k$ и $n + 1 = 2k + 2 = 2(k+1)$. Их произведение $(n-1)(n+1) = 2k \cdot 2(k+1) = 4k(k+1)$, очевидно, делится на 4. Следовательно, и все произведение $n^2(n - 1)(n + 1)$ делится на 4.

Поскольку для любого натурального $\text{n}$ выражение $n^4 - n^2$ делится и на 3, и на 4, оно делится на их наименьшее общее кратное, то есть на 12.

Ответ: Доказано.

2)

Чтобы доказать, что число $n^9 - n^3$ делится на 504, разложим 504 на взаимно простые множители: $504 = 7 \cdot 8 \cdot 9$. Докажем, что $n^9 - n^3$ делится на 7, 8 и 9.

Разложим исходное выражение: $n^9 - n^3 = n^3(n^6 - 1)$.

Докажем делимость на 7.

Согласно малой теореме Ферма, $a^p \equiv a \pmod{p}$ для любого целого $\text{a}$ и простого $\text{p}$. При $p=7$ получаем $n^7 \equiv n \pmod{7}$. Это можно переписать как $n(n^6-1) \equiv 0 \pmod{7}$. Если $\text{n}$ делится на 7, то и $n^3(n^6-1)$ делится на 7. Если $\text{n}$ не делится на 7, то $n^6-1$ делится на 7, и тогда $n^3(n^6-1)$ также делится на 7.

Докажем делимость на 9.

Случай 1: $\text{n}$ кратно 3.

Пусть $n=3k$. Тогда $n^3 = (3k)^3 = 27k^3$. Это число делится на 9, а значит и все выражение $n^3(n^6-1)$ делится на 9.

Случай 2: $\text{n}$ не кратно 3.

Тогда $\text{n}$ и 9 взаимно просты. По теореме Эйлера, $n^{\phi(9)} \equiv 1 \pmod{9}$. Так как $\phi(9) = 9(1-1/3) = 6$, то $n^6 \equiv 1 \pmod{9}$. Отсюда $n^6 - 1$ делится на 9. Следовательно, и произведение $n^3(n^6-1)$ делится на 9.

Докажем делимость на 8.

Случай 1: $\text{n}$ — четное.

Пусть $n=2k$. Тогда $n^3 = (2k)^3 = 8k^3$. Это число делится на 8, а значит и все выражение $n^3(n^6-1)$ делится на 8.

Случай 2: $\text{n}$ — нечетное.

Если $\text{n}$ нечетно, то $n^2$ при делении на 8 дает в остатке 1. То есть $n^2 \equiv 1 \pmod{8}$ (например, $1^2=1, 3^2=9\equiv1, 5^2=25\equiv1, 7^2=49\equiv1$). Тогда $n^6 = (n^2)^3 \equiv 1^3 \equiv 1 \pmod{8}$. Отсюда $n^6-1$ делится на 8. Следовательно, и произведение $n^3(n^6-1)$ делится на 8.

Поскольку $n^9 - n^3$ делится на 7, 8 и 9 для любого натурального $\text{n}$, оно делится на их произведение $7 \cdot 8 \cdot 9 = 504$.

Ответ: Доказано.

3)

Нужно доказать, что число $5^n - 5$ делится на 20. $20 = 4 \cdot 5$.

Разложим выражение на множители: $5^n - 5 = 5(5^{n-1} - 1)$.

Из этого вида очевидно, что выражение делится на 5. Остается доказать, что оно делится на 4.

Если $n=1$, то $5^1 - 5 = 0$, что делится на 20.

Если $n \ge 2$, то $n-1 \ge 1$. Докажем, что множитель $(5^{n-1} - 1)$ делится на 4. Для этого воспользуемся сравнениями по модулю.

$5 \equiv 1 \pmod{4}$.

Возводя обе части сравнения в степень $n-1$, получаем:

$5^{n-1} \equiv 1^{n-1} \pmod{4}$, то есть $5^{n-1} \equiv 1 \pmod{4}$.

Отсюда $5^{n-1} - 1 \equiv 0 \pmod{4}$, что означает, что $5^{n-1} - 1$ делится на 4.

Таким образом, для $n \ge 2$ выражение $5(5^{n-1}-1)$ является произведением числа 5 и числа, кратного 4, а значит, оно делится на $5 \cdot 4 = 20$.

Утверждение верно для $n=1$ и для всех $n \ge 2$, следовательно, оно верно для всех натуральных $\text{n}$.

Ответ: Доказано.

4)

Нужно доказать, что число $7^n - 7$ делится на 42. $42 = 6 \cdot 7$.

Разложим выражение: $7^n - 7 = 7(7^{n-1} - 1)$.

Очевидно, что выражение делится на 7. Остается доказать, что оно делится на 6, то есть на 2 и на 3.

Если $n=1$, то $7^1 - 7 = 0$, что делится на 42.

Если $n \ge 2$, то $n-1 \ge 1$. Докажем, что множитель $(7^{n-1} - 1)$ делится на 6.

Докажем делимость на 2.

Число 7 нечетное. Любая натуральная степень нечетного числа — нечетное число. Значит, $7^{n-1}$ — нечетное. Тогда $7^{n-1} - 1$ (разность нечетного и 1) является четным числом, то есть делится на 2.

Докажем делимость на 3.

Воспользуемся сравнениями по модулю. $7 \equiv 1 \pmod{3}$.

Возведем в степень $n-1$: $7^{n-1} \equiv 1^{n-1} \pmod{3}$, то есть $7^{n-1} \equiv 1 \pmod{3}$.

Отсюда $7^{n-1} - 1 \equiv 0 \pmod{3}$, то есть $7^{n-1} - 1$ делится на 3.

Поскольку $7^{n-1} - 1$ делится и на 2, и на 3, оно делится на 6.

Таким образом, для $n \ge 2$ выражение $7(7^{n-1}-1)$ является произведением 7 и числа, кратного 6, значит, оно делится на $7 \cdot 6 = 42$.

Утверждение верно для $n=1$ и для всех $n \ge 2$, следовательно, оно верно для всех натуральных $\text{n}$.

Ответ: Доказано.