Номер 9.7, страница 102, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

9.7. Докажите, что при уменьшении нечетного числа на 1 получается число, кратное 8.

Утверждение, представленное в задаче («при уменьшении нечетного числа на 1 получается число, кратное 8»), является неверным. В качестве контрпримера можно взять нечетное число 3. При уменьшении его на 1 получаем $3 - 1 = 2$. Число 2 не кратно 8. Аналогично, для нечетного числа 5: $5 - 1 = 4$, что также не кратно 8.

Вероятно, в условии задачи допущена опечатка и речь должна идти о квадрате нечетного числа. Исправленная формулировка задачи звучит так: «Докажите, что при уменьшении квадрата нечетного числа на 1 получается число, кратное 8». Ниже приведено доказательство этого утверждения.

Любое нечетное число $\text{n}$ можно представить в виде $n = 2k + 1$, где $\text{k}$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

Найдем квадрат этого числа: $n^2 = (2k + 1)^2 = (2k)^2 + 2 \cdot 2k \cdot 1 + 1^2 = 4k^2 + 4k + 1$.

Теперь уменьшим полученный квадрат на 1, согласно условию: $n^2 - 1 = (4k^2 + 4k + 1) - 1 = 4k^2 + 4k$.

Чтобы доказать, что это число кратно 8, преобразуем выражение, вынеся за скобки общий множитель: $4k^2 + 4k = 4k(k + 1)$.

Рассмотрим множитель $k(k + 1)$. Это произведение двух последовательных целых чисел. Независимо от того, является ли $\text{k}$ четным или нечетным, одно из чисел в паре ($\text{k}$ или $k+1$) обязательно будет четным. Следовательно, их произведение $k(k + 1)$ всегда делится на 2.

Это означает, что мы можем записать $k(k + 1) = 2m$ для некоторого целого числа $\text{m}$.

Подставим это обратно в наше выражение: $n^2 - 1 = 4k(k + 1) = 4 \cdot (2m) = 8m$.

Так как $\text{m}$ — целое число, то выражение $8m$ по определению является числом, кратным 8.

Таким образом, мы доказали, что квадрат любого нечетного числа, уменьшенный на 1, всегда кратен 8.

Ответ: Исходное утверждение в задаче неверно. Если предположить, что в условии имеется в виду квадрат нечетного числа, то доказательство приведено выше: уменьшение квадрата нечетного числа на 1 всегда дает число, кратное 8.