Номер 9.2, страница 102, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

9.2. Назовите признаки делимости целого числа:

1) на 18;

2) на 25.

1) Признак делимости на составное число, такое как 18, формулируется на основе признаков делимости на его взаимно простые множители. Число 18 можно представить как произведение двух взаимно простых чисел: $18 = 2 \times 9$. Таким образом, чтобы число делилось на 18, оно должно одновременно делиться и на 2, и на 9.

Вспомним признаки делимости на 2 и на 9:

• Признак делимости на 2: число должно быть четным, то есть оканчиваться на четную цифру (0, 2, 4, 6 или 8).
• Признак делимости на 9: сумма цифр числа должна делиться на 9.

Объединяя эти два условия, получаем итоговый признак делимости на 18. Например, число 576. Оно четное (делится на 2). Сумма его цифр $5+7+6=18$, и 18 делится на 9. Так как оба условия выполняются, 576 делится на 18 ($576 / 18 = 32$).

Ответ: Целое число делится на 18 тогда и только тогда, когда оно четное и сумма его цифр делится на 9.

2) Признак делимости на 25 связан с последними двумя цифрами числа. Это объясняется тем, что число 100 делится на 25 ($100 = 4 \times 25$). Любое целое число $\text{N}$, имеющее более двух цифр, можно представить в виде суммы: $N = 100 \times k + m$, где $\text{k}$ — это число, образованное всеми цифрами, кроме двух последних, а $\text{m}$ — это число, образованное двумя последними цифрами.

Поскольку слагаемое $100 \times k$ всегда делится на 25 (так как 100 делится на 25), то делимость всего числа $\text{N}$ на 25 зависит исключительно от делимости на 25 числа $\text{m}$, образованного его последними двумя цифрами.

Двузначные числа, которые делятся на 25, — это 00, 25, 50 и 75.

Например, число 13450. Две последние цифры образуют число 50. Так как 50 делится на 25, то и все число 13450 делится на 25 ($13450 / 25 = 538$).

Ответ: Целое число делится на 25 тогда и только тогда, когда число, образованное двумя его последними цифрами, делится на 25, то есть когда оно оканчивается на 00, 25, 50 или 75.