Номер 8.52, страница 99, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

8.52*. Найдите интеграл:

1) $\int \sin^4 x dx;$

2) $\int \cos^3 x dx;$

3) $\int x^2 e^{-2x} dx.$

1) Для нахождения интеграла $ \int \sin^4x dx $ воспользуемся формулой понижения степени $ \sin^2x = \frac{1 - \cos(2x)}{2} $.

Представим подынтегральное выражение в виде $ \sin^4x = (\sin^2x)^2 $:

$ \int \sin^4x dx = \int \left(\frac{1 - \cos(2x)}{2}\right)^2 dx = \frac{1}{4} \int (1 - 2\cos(2x) + \cos^2(2x)) dx $

Снова применим формулу понижения степени, на этот раз для косинуса: $ \cos^2(2x) = \frac{1 + \cos(4x)}{2} $.

Подставим это в интеграл:

$ \frac{1}{4} \int \left(1 - 2\cos(2x) + \frac{1 + \cos(4x)}{2}\right) dx = \frac{1}{4} \int \left(1 - 2\cos(2x) + \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\cos(4x)\right) dx $

$ = \frac{1}{4} \int \left(\frac{3}{2} - 2\cos(2x) + \frac{1}{2}\cos(4x)\right) dx $

Теперь интегрируем почленно:

$ = \frac{1}{4} \left(\frac{3}{2}x - 2 \cdot \frac{\sin(2x)}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin(4x)}{4}\right) + C $

$ = \frac{3}{8}x - \frac{1}{4}\sin(2x) + \frac{1}{32}\sin(4x) + C $

Ответ: $ \frac{3}{8}x - \frac{1}{4}\sin(2x) + \frac{1}{32}\sin(4x) + C $

2) Для нахождения интеграла $ \int \cos^3x dx $ выделим множитель $ \cos x $ и воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $ \cos^2x = 1 - \sin^2x $.

$ \int \cos^3x dx = \int \cos^2x \cdot \cos x dx = \int (1 - \sin^2x) \cos x dx $

Сделаем замену переменной. Пусть $ t = \sin x $, тогда $ dt = \cos x dx $.

Подставим в интеграл:

$ \int (1 - t^2) dt = t - \frac{t^3}{3} + C $

Выполним обратную замену $ t = \sin x $:

$ \sin x - \frac{\sin^3x}{3} + C $

Ответ: $ \sin x - \frac{1}{3}\sin^3x + C $

3) Для нахождения интеграла $ \int x^2e^{-2x} dx $ применим метод интегрирования по частям $ \int u dv = uv - \int v du $ дважды.

Первое применение:

Пусть $ u = x^2 $ и $ dv = e^{-2x} dx $. Тогда $ du = 2x dx $ и $ v = \int e^{-2x} dx = -\frac{1}{2}e^{-2x} $.

$ \int x^2e^{-2x} dx = x^2 \left(-\frac{1}{2}e^{-2x}\right) - \int \left(-\frac{1}{2}e^{-2x}\right) (2x dx) = -\frac{1}{2}x^2e^{-2x} + \int x e^{-2x} dx $

Теперь найдем оставшийся интеграл $ \int x e^{-2x} dx $ также по частям.

Второе применение:

Пусть $ u = x $ и $ dv = e^{-2x} dx $. Тогда $ du = dx $ и $ v = -\frac{1}{2}e^{-2x} $.

$ \int x e^{-2x} dx = x \left(-\frac{1}{2}e^{-2x}\right) - \int \left(-\frac{1}{2}e^{-2x}\right) dx = -\frac{1}{2}xe^{-2x} + \frac{1}{2} \int e^{-2x} dx $

$ = -\frac{1}{2}xe^{-2x} + \frac{1}{2} \left(-\frac{1}{2}e^{-2x}\right) = -\frac{1}{2}xe^{-2x} - \frac{1}{4}e^{-2x} $

Подставим результат второго интегрирования в результат первого:

$ \int x^2e^{-2x} dx = -\frac{1}{2}x^2e^{-2x} + \left(-\frac{1}{2}xe^{-2x} - \frac{1}{4}e^{-2x}\right) + C $

$ = -\frac{1}{2}x^2e^{-2x} - \frac{1}{2}xe^{-2x} - \frac{1}{4}e^{-2x} + C $

Вынесем общий множитель $ -\frac{1}{4}e^{-2x} $:

$ = -\frac{1}{4}e^{-2x}(2x^2 + 2x + 1) + C $

Ответ: $ -\frac{1}{4}e^{-2x}(2x^2 + 2x + 1) + C $