Номер 8.49, страница 99, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

8.49. Решите задачу Коши для функции $x(t):$

1) $x'' + 9x = 0$, $x = 0$ и $x' = 1$ при $t = 0;$

2) $x'' + 4x = 0$, $x \left( \frac{\pi}{4} \right) = 1$ и $x \left( \frac{\pi}{2} \right) = 0;$

3) $x'' + 12x = 0$, $x(0) = 0$ и $x(1) = 3.$

1) Решаем задачу Коши для уравнения $x'' + 9x = 0$ с начальными условиями $x(0) = 0$ и $x'(0) = 1$.

Это линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Составим и решим характеристическое уравнение:

$k^2 + 9 = 0$

$k^2 = -9$

$k = \pm \sqrt{-9} = \pm 3i$

Поскольку корни комплексные ($k = \alpha \pm i\beta$, где $\alpha = 0$ и $\beta = 3$), общее решение уравнения имеет вид:

$x(t) = C_1 \cos(3t) + C_2 \sin(3t)$

Для использования второго начального условия найдем производную общего решения:

$x'(t) = -3C_1 \sin(3t) + 3C_2 \cos(3t)$

Теперь подставим начальные условия для нахождения констант $C_1$ и $C_2$.

Из условия $x(0) = 0$ получаем:

$x(0) = C_1 \cos(0) + C_2 \sin(0) = C_1 \cdot 1 + C_2 \cdot 0 = C_1$

Следовательно, $C_1 = 0$.

Из условия $x'(0) = 1$ получаем:

$x'(0) = -3C_1 \sin(0) + 3C_2 \cos(0) = -3 \cdot 0 \cdot \sin(0) + 3C_2 \cos(0) = 3C_2$

Следовательно, $3C_2 = 1$, откуда $C_2 = \frac{1}{3}$.

Подставляем найденные значения $C_1=0$ и $C_2=\frac{1}{3}$ в общее решение, чтобы получить частное решение, удовлетворяющее заданным условиям:

$x(t) = 0 \cdot \cos(3t) + \frac{1}{3} \sin(3t) = \frac{1}{3} \sin(3t)$

Ответ: $x(t) = \frac{1}{3} \sin(3t)$.

2) Решаем задачу для уравнения $x'' + 4x = 0$ с граничными условиями $x(\frac{\pi}{4}) = 1$ и $x(\frac{\pi}{2}) = 0$.

Характеристическое уравнение имеет вид:

$k^2 + 4 = 0$

Его корни:

$k^2 = -4 \implies k = \pm 2i$

Общее решение дифференциального уравнения:

$x(t) = C_1 \cos(2t) + C_2 \sin(2t)$

Используем заданные граничные условия для нахождения констант $C_1$ и $C_2$.

Из условия $x(\frac{\pi}{4}) = 1$:

$1 = C_1 \cos(2 \cdot \frac{\pi}{4}) + C_2 \sin(2 \cdot \frac{\pi}{4}) = C_1 \cos(\frac{\pi}{2}) + C_2 \sin(\frac{\pi}{2}) = C_1 \cdot 0 + C_2 \cdot 1 = C_2$

Таким образом, $C_2 = 1$.

Из условия $x(\frac{\pi}{2}) = 0$:

$0 = C_1 \cos(2 \cdot \frac{\pi}{2}) + C_2 \sin(2 \cdot \frac{\pi}{2}) = C_1 \cos(\pi) + C_2 \sin(\pi) = C_1 \cdot (-1) + C_2 \cdot 0 = -C_1$

Таким образом, $C_1 = 0$.

Подставляем $C_1 = 0$ и $C_2 = 1$ в общее решение:

$x(t) = 0 \cdot \cos(2t) + 1 \cdot \sin(2t) = \sin(2t)$

Ответ: $x(t) = \sin(2t)$.

3) Решаем задачу для уравнения $x'' + 12x = 0$ с граничными условиями $x(0) = 0$ и $x(1) = 3$.

Характеристическое уравнение:

$k^2 + 12 = 0$

Находим корни:

$k^2 = -12 \implies k = \pm \sqrt{-12} = \pm i\sqrt{4 \cdot 3} = \pm 2i\sqrt{3}$

Общее решение имеет вид:

$x(t) = C_1 \cos(2\sqrt{3}t) + C_2 \sin(2\sqrt{3}t)$

Используем заданные условия для нахождения констант.

Из условия $x(0) = 0$:

$0 = C_1 \cos(0) + C_2 \sin(0) = C_1 \cdot 1 + C_2 \cdot 0 = C_1$

Следовательно, $C_1 = 0$. Решение принимает вид $x(t) = C_2 \sin(2\sqrt{3}t)$.

Используем второе условие $x(1) = 3$:

$3 = C_2 \sin(2\sqrt{3} \cdot 1) = C_2 \sin(2\sqrt{3})$

Отсюда находим $C_2$:

$C_2 = \frac{3}{\sin(2\sqrt{3})}$

Подставляем найденные значения $C_1=0$ и $C_2 = \frac{3}{\sin(2\sqrt{3})}$ в общее решение:

$x(t) = 0 \cdot \cos(2\sqrt{3}t) + \frac{3}{\sin(2\sqrt{3})} \sin(2\sqrt{3}t)$

Ответ: $x(t) = \frac{3\sin(2\sqrt{3}t)}{\sin(2\sqrt{3})}$.