Номер 8.43, страница 98, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

8.43. Найдите амплитуду, частоту и начальную фазу гармонического колебания:

1) $y = \cos(2x) + \sin(2x);$

2) $y = 3\sin\left(\frac{x}{2}\right) + \cos\left(\frac{x}{2}\right);$

3) $y = \cos(\sqrt{2}x) + \sin(\sqrt{2}x);$

4) $y = -3\sin\left(\frac{x}{3}\right) + 4\cos\left(\frac{x}{3}\right).$

Для нахождения амплитуды, частоты и начальной фазы гармонического колебания, заданного в виде $y = a \sin(\omega x) + b \cos(\omega x)$, его необходимо привести к стандартной форме $y = A \cos(\omega x + \phi_0)$, где $\text{A}$ – амплитуда, $\omega$ – угловая частота, $\phi_0$ – начальная фаза.

Преобразование выполняется с помощью метода вспомогательного угла. Амплитуда вычисляется по формуле $A = \sqrt{a^2 + b^2}$. Начальная фаза $\phi_0$ находится из системы уравнений:

$\cos(\phi_0) = \frac{b}{A}$

$\sin(\phi_0) = \frac{-a}{A}$

Частота $\omega$ совпадает с частотой в исходных синусе и косинусе.

В данном случае уравнение $y = \sin(2x) + \cos(2x)$ соответствует виду $y = a \sin(\omega x) + b \cos(\omega x)$, где коэффициенты $a=1$, $b=1$ и частота $\omega=2$.

Амплитуда колебания: $A = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.

Частота колебания: $\omega = 2$.

Начальная фаза $\phi_0$ находится из системы: $\cos(\phi_0) = \frac{b}{A} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ $\sin(\phi_0) = \frac{-a}{A} = \frac{-1}{\sqrt{2}}$ Из этих соотношений следует, что угол $\phi_0$ находится в четвертой тригонометрической четверти, и его значение равно $\phi_0 = -\frac{\pi}{4}$.

Ответ: амплитуда $\sqrt{2}$, частота $\text{2}$, начальная фаза $-\frac{\pi}{4}$.

Для уравнения $y = 3\sin\frac{x}{2} + \cos\frac{x}{2}$ имеем коэффициенты $a=3$, $b=1$ и частоту $\omega=\frac{1}{2}$.

Амплитуда колебания: $A = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{10}$.

Частота колебания: $\omega = \frac{1}{2}$.

Начальная фаза $\phi_0$ определяется из системы: $\cos(\phi_0) = \frac{b}{A} = \frac{1}{\sqrt{10}}$ $\sin(\phi_0) = \frac{-a}{A} = \frac{-3}{\sqrt{10}}$ Поскольку косинус положителен, а синус отрицателен, угол $\phi_0$ находится в четвертой четверти. Его можно выразить через арктангенс: $\tan(\phi_0) = \frac{\sin(\phi_0)}{\cos(\phi_0)} = -3$. Следовательно, $\phi_0 = \arctan(-3) = -\arctan(3)$.

Ответ: амплитуда $\sqrt{10}$, частота $\frac{1}{2}$, начальная фаза $-\arctan(3)$.

В данном случае уравнение $y = \sin(\sqrt{2}x) + \cos(\sqrt{2}x)$ соответствует виду $y = a \sin(\omega x) + b \cos(\omega x)$, где коэффициенты $a=1$, $b=1$ и частота $\omega=\sqrt{2}$.

Амплитуда колебания: $A = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.

Частота колебания: $\omega = \sqrt{2}$.

Начальная фаза $\phi_0$ находится из системы: $\cos(\phi_0) = \frac{b}{A} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ $\sin(\phi_0) = \frac{-a}{A} = \frac{-1}{\sqrt{2}}$ Угол, удовлетворяющий этим условиям, равен $\phi_0 = -\frac{\pi}{4}$.

Ответ: амплитуда $\sqrt{2}$, частота $\sqrt{2}$, начальная фаза $-\frac{\pi}{4}$.

Для уравнения $y = -3\sin\frac{x}{3} + 4\cos\frac{x}{3}$ имеем коэффициенты $a=-3$, $b=4$ и частоту $\omega=\frac{1}{3}$.

Амплитуда колебания: $A = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{(-3)^2 + 4^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5$.

Частота колебания: $\omega = \frac{1}{3}$.

Начальная фаза $\phi_0$ определяется из системы: $\cos(\phi_0) = \frac{b}{A} = \frac{4}{5}$ $\sin(\phi_0) = \frac{-a}{A} = \frac{-(-3)}{5} = \frac{3}{5}$ Поскольку и синус, и косинус положительны, угол $\phi_0$ находится в первой четверти. Его можно выразить через арктангенс: $\tan(\phi_0) = \frac{\sin(\phi_0)}{\cos(\phi_0)} = \frac{3/5}{4/5} = \frac{3}{4}$. Следовательно, $\phi_0 = \arctan(\frac{3}{4})$.

Ответ: амплитуда $\text{5}$, частота $\frac{1}{3}$, начальная фаза $\arctan(\frac{3}{4})$.