Вопросы, страница 97, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1. Напишите определение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка.

2. Как решают линейные однородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами?

3. Как влияют решения характеристического уравнения на общее решение линейного однородного уравнения?

4. Что называют гармоническими колебаниями? Назовите их основные характеристики.

1. Линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка называется уравнение вида $y'' + p(x)y' + q(x)y = 0$, где $y(x)$ — искомая функция, $y'$ и $y''$ — её первая и вторая производные, а $p(x)$ и $q(x)$ — заданные функции (коэффициенты), которые обычно предполагаются непрерывными на некотором интервале. Уравнение классифицируется следующим образом:

• второго порядка — потому что старшая производная в уравнении — вторая ($y''$).

• линейное — потому что искомая функция $\text{y}$ и её производные $y', y''$ входят в уравнение в первой степени и не перемножаются друг с другом. Коэффициенты $p(x)$ и $q(x)$ зависят только от независимой переменной $\text{x}$.

• однородное — потому что его правая часть (свободный член) равна нулю. Если бы в правой части стояла ненулевая функция $f(x)$, уравнение называлось бы неоднородным.

Ответ: Линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка — это уравнение вида $y'' + p(x)y' + q(x)y = 0$, где $\text{y}$ — неизвестная функция от $\text{x}$, а $p(x)$ и $q(x)$ — известные функции.

2. Линейные однородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами имеют вид $ay'' + by' + cy = 0$, где $a, b, c$ — действительные числа, и $a \neq 0$. Для их решения используется метод характеристического уравнения.

1. Ищут решение в виде $y = e^{kx}$. Подстановка этой функции и её производных ($y' = ke^{kx}$, $y'' = k^2e^{kx}$) в исходное уравнение дает: $ak^2e^{kx} + bke^{kx} + ce^{kx} = 0$.

2. Так как $e^{kx} \neq 0$, это уравнение можно сократить, получив квадратное алгебраическое уравнение относительно $\text{k}$, которое называется характеристическим уравнением: $ak^2 + bk + c = 0$.

3. Находят корни этого уравнения, $k_1$ и $k_2$. В зависимости от знака дискриминанта $D = b^2 - 4ac$ возможны три случая:

• Случай 1: $D > 0$. Характеристическое уравнение имеет два различных действительных корня $k_1$ и $k_2$. Общее решение дифференциального уравнения имеет вид: $y(x) = C_1e^{k_1x} + C_2e^{k_2x}$.

• Случай 2: $D = 0$. Характеристическое уравнение имеет один действительный корень кратности два: $k_1 = k_2 = k$. Общее решение в этом случае: $y(x) = C_1e^{kx} + C_2xe^{kx}$ или $y(x) = (C_1 + C_2x)e^{kx}$.

• Случай 3: $D < 0$. Характеристическое уравнение имеет два комплексных сопряженных корня $k_{1,2} = \alpha \pm i\beta$, где $\alpha = -b/(2a)$ и $\beta = \sqrt{4ac - b^2}/(2a)$. Общее решение записывается в виде: $y(x) = e^{\alpha x}(C_1\cos(\beta x) + C_2\sin(\beta x))$.

Здесь $C_1$ и $C_2$ — произвольные постоянные, которые определяются из начальных или граничных условий.

Ответ: Для решения уравнения $ay'' + by' + cy = 0$ составляют и решают характеристическое уравнение $ak^2 + bk + c = 0$, и в зависимости от его корней $k_1, k_2$ записывают общее решение: 1) $y = C_1e^{k_1x} + C_2e^{k_2x}$ при $k_1 \neq k_2$ (действительные); 2) $y = (C_1 + C_2x)e^{kx}$ при $k_1 = k_2 = k$; 3) $y = e^{\alpha x}(C_1\cos(\beta x) + C_2\sin(\beta x))$ при $k_{1,2} = \alpha \pm i\beta$.

3. Решения (корни) характеристического уравнения $ak^2 + bk + c = 0$ полностью определяют структуру и качественное поведение общего решения линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами. Связь такова:

• Два различных действительных корня ($k_1 \neq k_2$) приводят к общему решению в виде суперпозиции двух экспоненциальных функций: $y(x) = C_1e^{k_1x} + C_2e^{k_2x}$. Поведение решения — это рост или затухание (или их комбинация) без колебаний. Если корни положительные, решение неограниченно растет; если отрицательные — стремится к нулю.

• Один кратный действительный корень ($k_1 = k_2 = k$) дает решение вида $y(x) = (C_1 + C_2x)e^{kx}$. Это также экспоненциальное поведение, но модифицированное линейным множителем $\text{x}$, который может изменить скорость роста или затухания.

• Два комплексно-сопряженных корня ($k_{1,2} = \alpha \pm i\beta$) приводят к решению, описывающему колебательные процессы: $y(x) = e^{\alpha x}(C_1\cos(\beta x) + C_2\sin(\beta x))$. Здесь:

- действительная часть корня, $\alpha$, определяет изменение амплитуды колебаний: при $\alpha < 0$ это затухающие колебания, при $\alpha > 0$ — колебания с растущей амплитудой, а при $\alpha = 0$ — незатухающие (гармонические) колебания.

- мнимая часть корня, $\beta$, определяет частоту этих колебаний.

Таким образом, тип корней (действительные или комплексные, различные или кратные) напрямую задает вид фундаментальных функций, из которых строится общее решение.

Ответ: Корни характеристического уравнения определяют фундаментальную систему решений. Действительные корни приводят к экспоненциальным решениям (рост или затухание), а комплексные корни — к колебательным решениям, где действительная часть корня отвечает за затухание/рост амплитуды, а мнимая — за частоту.

4. Гармоническими колебаниями называют такие периодические процессы, при которых физическая или иная величина (например, смещение, напряжение, сила тока) изменяется с течением времени по синусоидальному закону (то есть по закону синуса или косинуса). Математически это описывается уравнением вида: $x(t) = A \cos(\omega t + \varphi_0)$. Такие колебания являются решением дифференциального уравнения $x'' + \omega^2 x = 0$, которое представляет собой частный случай линейного однородного уравнения второго порядка.

Основные характеристики гармонических колебаний:

• Амплитуда ($\text{A}$) — это максимальное значение отклонения колеблющейся величины от положения равновесия. Амплитуда всегда неотрицательна ($A \geq 0$) и измеряется в тех же единицах, что и колеблющаяся величина (например, метры, вольты).

• Циклическая (круговая) частота ($\omega$) — показывает, на сколько радиан изменяется фаза колебаний за единицу времени. Измеряется в радианах в секунду (рад/с). Связана с периодом и частотой.

• Период ($\text{T}$) — время одного полного колебания, то есть минимальный промежуток времени, через который система возвращается в то же состояние. $T = 2\pi/\omega$. Измеряется в секундах (с).

• Частота ($\text{f}$ или $\nu$) — число полных колебаний, совершаемых за единицу времени. Это величина, обратная периоду: $f = 1/T = \omega/(2\pi)$. Измеряется в герцах (Гц).

• Фаза колебаний ($\Phi(t) = \omega t + \varphi_0$) — аргумент синуса или косинуса, который определяет значение колеблющейся величины в любой момент времени $\text{t}$. Измеряется в радианах.

• Начальная фаза ($\varphi_0$) — значение фазы в начальный момент времени ($t=0$). Она определяет начальное состояние системы (ее смещение и скорость в момент $t=0$). Измеряется в радианах.

Ответ: Гармонические колебания — это колебания, при которых физическая величина изменяется со временем по закону синуса или косинуса, например, $x(t) = A \cos(\omega t + \varphi_0)$. Их основные характеристики: амплитуда ($\text{A}$), циклическая частота ($\omega$), период ($\text{T}$), частота ($\text{f}$) и начальная фаза ($\varphi_0$).