Номер 8.39, страница 94, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

8.39*. Вычислите:

1) $ \int \frac{dx}{(x+1)(x^2+1)} $

2) $ \int \frac{dx}{(x+1)(1-x)^2} $

3) $ \int \frac{dx}{(x+1)(x+2)(x+3)} $

4) $ \int \frac{x^{10}}{x^2+x-2} dx $

5) $ \int \frac{dx}{x^3+1} $

6) $ \int \frac{dx}{x^3-1} $

1) Для вычисления интеграла $ \int \frac{dx}{(x+1)(x^2+1)} $ используем метод разложения на простейшие дроби. Представим подынтегральную функцию в виде суммы дробей:

$ \frac{1}{(x+1)(x^2+1)} = \frac{A}{x+1} + \frac{Bx+C}{x^2+1} $

Приводя правую часть к общему знаменателю, получаем тождество: $ 1 = A(x^2+1) + (Bx+C)(x+1) $.

Раскроем скобки: $ 1 = Ax^2 + A + Bx^2 + Bx + Cx + C $.

Сгруппируем слагаемые при одинаковых степенях $\text{x}$: $ 1 = (A+B)x^2 + (B+C)x + (A+C) $.

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях $\text{x}$ в левой и правой частях, получаем систему уравнений:

$A+B = 0$ (коэффициенты при $x^2$)

$B+C = 0$ (коэффициенты при $\text{x}$)

$A+C = 1$ (свободные члены)

Решая эту систему, находим: $ A = \frac{1}{2} $, $ B = -\frac{1}{2} $, $ C = \frac{1}{2} $.

Таким образом, разложение имеет вид:

$ \frac{1}{(x+1)(x^2+1)} = \frac{1/2}{x+1} + \frac{-x/2+1/2}{x^2+1} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x+1} - \frac{1}{2} \cdot \frac{x-1}{x^2+1} $

Теперь интегрируем полученное выражение:

$ \int \frac{dx}{(x+1)(x^2+1)} = \frac{1}{2}\int\frac{dx}{x+1} - \frac{1}{2}\int\frac{x-1}{x^2+1}dx = \frac{1}{2}\int\frac{dx}{x+1} - \frac{1}{2}\int\frac{x}{x^2+1}dx + \frac{1}{2}\int\frac{dx}{x^2+1} $

Вычисляем каждый интеграл по отдельности:

$ \int\frac{dx}{x+1} = \ln|x+1| $

$ \int\frac{x}{x^2+1}dx = \frac{1}{2}\int\frac{d(x^2+1)}{x^2+1} = \frac{1}{2}\ln(x^2+1) $

$ \int\frac{dx}{x^2+1} = \arctan(x) $

Собирая все вместе, получаем результат:

$ \frac{1}{2}\ln|x+1| - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}\ln(x^2+1) + \frac{1}{2}\arctan(x) + C = \frac{1}{2}\ln|x+1| - \frac{1}{4}\ln(x^2+1) + \frac{1}{2}\arctan(x) + C $

Ответ: $ \frac{1}{2}\ln|x+1| - \frac{1}{4}\ln(x^2+1) + \frac{1}{2}\arctan(x) + C $

2) Для вычисления интеграла $ \int \frac{dx}{(x+1)(1-x)^2} $ используем метод разложения на простейшие дроби. Представим подынтегральную функцию в виде:

$ \frac{1}{(x+1)(1-x)^2} = \frac{A}{x+1} + \frac{B}{1-x} + \frac{C}{(1-x)^2} $

Приводя к общему знаменателю, получаем тождество: $ 1 = A(1-x)^2 + B(x+1)(1-x) + C(x+1) $.

Для нахождения коэффициентов используем метод частных значений:

При $ x=1 $: $ 1 = C(1+1) \Rightarrow 2C=1 \Rightarrow C=1/2 $.

При $ x=-1 $: $ 1 = A(1-(-1))^2 \Rightarrow 4A=1 \Rightarrow A=1/4 $.

При $ x=0 $: $ 1 = A(1)^2 + B(1)(1) + C(1) \Rightarrow 1 = A+B+C $. Подставляя найденные $\text{A}$ и $\text{C}$, получаем $ 1 = 1/4 + B + 1/2 \Rightarrow B = 1/4 $.

Разложение имеет вид:

$ \frac{1}{(x+1)(1-x)^2} = \frac{1/4}{x+1} + \frac{1/4}{1-x} + \frac{1/2}{(1-x)^2} $

Интегрируем полученное выражение:

$ \int \left( \frac{1}{4(x+1)} + \frac{1}{4(1-x)} + \frac{1}{2(1-x)^2} \right) dx = \frac{1}{4}\int\frac{dx}{x+1} + \frac{1}{4}\int\frac{dx}{1-x} + \frac{1}{2}\int(1-x)^{-2}dx $

Вычисляя интегралы, получаем:

$ \frac{1}{4}\ln|x+1| - \frac{1}{4}\ln|1-x| + \frac{1}{2} \cdot \frac{(1-x)^{-1}}{-1 \cdot (-1)} + C = \frac{1}{4}\ln\left|\frac{x+1}{1-x}\right| + \frac{1}{2(1-x)} + C $

Ответ: $ \frac{1}{4}\ln\left|\frac{x+1}{1-x}\right| + \frac{1}{2(1-x)} + C $

3) Вычислим интеграл $ \int \frac{dx}{(x+1)(x+2)(x+3)} $ разложением на простейшие дроби.

$ \frac{1}{(x+1)(x+2)(x+3)} = \frac{A}{x+1} + \frac{B}{x+2} + \frac{C}{x+3} $

Приводя к общему знаменателю: $ 1 = A(x+2)(x+3) + B(x+1)(x+3) + C(x+1)(x+2) $.

Используем метод частных значений:

При $ x=-1 $: $ 1 = A(-1+2)(-1+3) = 2A \Rightarrow A=1/2 $.

При $ x=-2 $: $ 1 = B(-2+1)(-2+3) = -B \Rightarrow B=-1 $.

При $ x=-3 $: $ 1 = C(-3+1)(-3+2) = 2C \Rightarrow C=1/2 $.

Разложение: $ \frac{1}{(x+1)(x+2)(x+3)} = \frac{1/2}{x+1} - \frac{1}{x+2} + \frac{1/2}{x+3} $.

Интегрируем:

$ \int \left( \frac{1}{2(x+1)} - \frac{1}{x+2} + \frac{1}{2(x+3)} \right) dx = \frac{1}{2}\ln|x+1| - \ln|x+2| + \frac{1}{2}\ln|x+3| + C $

Используя свойства логарифмов, можно упростить выражение:

$ \frac{1}{2}(\ln|x+1| + \ln|x+3|) - \ln|x+2| + C = \frac{1}{2}\ln|(x+1)(x+3)| - \ln|x+2| + C = \ln\frac{\sqrt{|(x+1)(x+3)|}}{|x+2|} + C $

Ответ: $ \frac{1}{2}\ln|x+1| - \ln|x+2| + \frac{1}{2}\ln|x+3| + C $

4) В интеграле $ \int \frac{x^{10}}{x^2+x-2}dx $ степень числителя (10) больше степени знаменателя (2), поэтому сначала выполним деление многочленов. Представим дробь в виде суммы многочлена и правильной рациональной дроби.

$ \frac{x^{10}}{x^2+x-2} = Q(x) + \frac{R(x)}{x^2+x-2} $, где $Q(x)$ — частное, а $R(x)$ — остаток, степень которого меньше 2.

Выполнив деление столбиком, получим:

$ Q(x) = x^8 - x^7 + 3x^6 - 5x^5 + 11x^4 - 21x^3 + 43x^2 - 85x + 171 $

$ R(x) = -341x + 342 $

Таким образом, интеграл можно записать как:

$ \int (x^8 - x^7 + \dots + 171) dx + \int \frac{-341x+342}{x^2+x-2} dx $

Интеграл от многочлена равен:

$ \frac{x^9}{9} - \frac{x^8}{8} + \frac{3x^7}{7} - \frac{5x^6}{6} + \frac{11x^5}{5} - \frac{21x^4}{4} + \frac{43x^3}{3} - \frac{85x^2}{2} + 171x $

Теперь вычислим интеграл от дробной части. Разложим знаменатель $x^2+x-2 = (x+2)(x-1)$ и представим дробь в виде суммы:

$ \frac{-341x+342}{(x+2)(x-1)} = \frac{A}{x+2} + \frac{B}{x-1} $

Находим коэффициенты: $ -341x+342 = A(x-1)+B(x+2) $.

При $ x=1 $: $ -341+342 = B(3) \Rightarrow 1=3B \Rightarrow B=1/3 $.

При $ x=-2 $: $ -341(-2)+342 = A(-3) \Rightarrow 682+342 = -3A \Rightarrow 1024=-3A \Rightarrow A=-1024/3 $.

Интегрируем дробную часть:

$ \int \left( \frac{-1024/3}{x+2} + \frac{1/3}{x-1} \right) dx = -\frac{1024}{3}\ln|x+2| + \frac{1}{3}\ln|x-1| $

Суммируя обе части, получаем окончательный ответ.

Ответ: $ \frac{x^9}{9} - \frac{x^8}{8} + \frac{3x^7}{7} - \frac{5x^6}{6} + \frac{11x^5}{5} - \frac{21x^4}{4} + \frac{43x^3}{3} - \frac{85x^2}{2} + 171x - \frac{1024}{3}\ln|x+2| + \frac{1}{3}\ln|x-1| + C $

5) Для вычисления интеграла $ \int \frac{dx}{x^3+1} $ разложим знаменатель на множители: $ x^3+1 = (x+1)(x^2-x+1) $. Квадратный трехчлен $x^2-x+1$ не имеет действительных корней.

Представим дробь в виде:

$ \frac{1}{(x+1)(x^2-x+1)} = \frac{A}{x+1} + \frac{Bx+C}{x^2-x+1} $

$ 1 = A(x^2-x+1) + (Bx+C)(x+1) $.

Решая систему уравнений для коэффициентов (аналогично п.1), находим: $ A=1/3, B=-1/3, C=2/3 $.

$ \int \frac{dx}{x^3+1} = \int \left( \frac{1/3}{x+1} + \frac{-x/3+2/3}{x^2-x+1} \right) dx = \frac{1}{3}\int\frac{dx}{x+1} - \frac{1}{3}\int\frac{x-2}{x^2-x+1}dx $

Первый интеграл равен $ \frac{1}{3}\ln|x+1| $. Для второго интеграла преобразуем числитель:

$ \int\frac{x-2}{x^2-x+1}dx = \int\frac{\frac{1}{2}(2x-1)-\frac{3}{2}}{x^2-x+1}dx = \frac{1}{2}\int\frac{2x-1}{x^2-x+1}dx - \frac{3}{2}\int\frac{dx}{x^2-x+1} $

Первая часть дает $ \frac{1}{2}\ln(x^2-x+1) $. Во второй части выделим полный квадрат в знаменателе: $ x^2-x+1 = (x-1/2)^2 + 3/4 $.

$ \int\frac{dx}{(x-1/2)^2+(\sqrt{3}/2)^2} = \frac{1}{\sqrt{3}/2}\arctan\frac{x-1/2}{\sqrt{3}/2} = \frac{2}{\sqrt{3}}\arctan\frac{2x-1}{\sqrt{3}} $

Собираем все вместе:

$ I = \frac{1}{3}\ln|x+1| - \frac{1}{3}\left( \frac{1}{2}\ln(x^2-x+1) - \frac{3}{2}\frac{2}{\sqrt{3}}\arctan\frac{2x-1}{\sqrt{3}} \right) + C $

$ I = \frac{1}{3}\ln|x+1| - \frac{1}{6}\ln(x^2-x+1) + \frac{\sqrt{3}}{3}\arctan\frac{2x-1}{\sqrt{3}} + C $

Ответ: $ \frac{1}{3}\ln|x+1| - \frac{1}{6}\ln(x^2-x+1) + \frac{\sqrt{3}}{3}\arctan\left(\frac{2x-1}{\sqrt{3}}\right) + C $

6) Для вычисления интеграла $ \int \frac{dx}{x^3-1} $ разложим знаменатель на множители: $ x^3-1 = (x-1)(x^2+x+1) $. Трехчлен $x^2+x+1$ не имеет действительных корней.

Представим дробь в виде:

$ \frac{1}{(x-1)(x^2+x+1)} = \frac{A}{x-1} + \frac{Bx+C}{x^2+x+1} $

$ 1 = A(x^2+x+1) + (Bx+C)(x-1) $.

Находим коэффициенты: $ A=1/3, B=-1/3, C=-2/3 $.

$ \int \frac{dx}{x^3-1} = \int \left( \frac{1/3}{x-1} + \frac{-x/3-2/3}{x^2+x+1} \right) dx = \frac{1}{3}\int\frac{dx}{x-1} - \frac{1}{3}\int\frac{x+2}{x^2+x+1}dx $

Первый интеграл равен $ \frac{1}{3}\ln|x-1| $. Для второго интеграла преобразуем числитель:

$ \int\frac{x+2}{x^2+x+1}dx = \int\frac{\frac{1}{2}(2x+1)+\frac{3}{2}}{x^2+x+1}dx = \frac{1}{2}\int\frac{2x+1}{x^2+x+1}dx + \frac{3}{2}\int\frac{dx}{x^2+x+1} $

Первая часть дает $ \frac{1}{2}\ln(x^2+x+1) $. Во второй части выделим полный квадрат: $ x^2+x+1 = (x+1/2)^2 + 3/4 $.

$ \int\frac{dx}{(x+1/2)^2+(\sqrt{3}/2)^2} = \frac{1}{\sqrt{3}/2}\arctan\frac{x+1/2}{\sqrt{3}/2} = \frac{2}{\sqrt{3}}\arctan\frac{2x+1}{\sqrt{3}} $

Собираем все вместе:

$ I = \frac{1}{3}\ln|x-1| - \frac{1}{3}\left( \frac{1}{2}\ln(x^2+x+1) + \frac{3}{2}\frac{2}{\sqrt{3}}\arctan\frac{2x+1}{\sqrt{3}} \right) + C $

$ I = \frac{1}{3}\ln|x-1| - \frac{1}{6}\ln(x^2+x+1) - \frac{\sqrt{3}}{3}\arctan\frac{2x+1}{\sqrt{3}} + C $

Ответ: $ \frac{1}{3}\ln|x-1| - \frac{1}{6}\ln(x^2+x+1) - \frac{\sqrt{3}}{3}\arctan\left(\frac{2x+1}{\sqrt{3}}\right) + C $