Номер 8.34, страница 93, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

Практическая работа

8.34. Начальная температура нагретого камня равна 100°С. Камень положили в воду температурой 20°С. Дифференциальное уравнение $ \frac{dT}{dt} = -0,5(T - 20) $ является математической моделью процесса остывания камня, здесь $\text{t}$ – время в минутах.

1) Найдите общее решение дифференциального уравнения.

2) Найдите частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальному условию.

3) Определите, через сколько времени температура камня будет равна 50°C.

1) Найдите общее решение дифференциального уравнения.

Дано дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными:

$\frac{dT}{dt} = -0,5(T - 20)$

Для его решения разделим переменные: перенесем все члены, содержащие $\text{T}$, в левую часть, а члены, содержащие $\text{t}$, — в правую.

$\frac{dT}{T - 20} = -0,5 dt$

Теперь проинтегрируем обе части уравнения:

$\int \frac{dT}{T - 20} = \int -0,5 dt$

В результате интегрирования получаем:

$\ln|T - 20| = -0,5t + C_1$, где $C_1$ — произвольная постоянная.

Чтобы выразить $\text{T}$, проведем потенцирование обеих частей уравнения (возьмем экспоненту):

$|T - 20| = e^{-0,5t + C_1} = e^{C_1} \cdot e^{-0,5t}$

Поскольку начальная температура камня ($100^\circ$С) выше температуры воды ($20^\circ$С), его температура $\text{T}$ будет всегда больше 20, поэтому $T - 20 > 0$. Знак модуля можно опустить. Обозначим $e^{C_1}$ как новую константу $\text{C}$. Тогда уравнение принимает вид:

$T - 20 = C \cdot e^{-0,5t}$

Отсюда общее решение дифференциального уравнения:

$T(t) = 20 + C \cdot e^{-0,5t}$

Ответ: $T(t) = 20 + C \cdot e^{-0,5t}$

2) Найдите частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальному условию.

Из условия задачи известно начальное условие: в момент времени $t = 0$ температура камня $\text{T}$ равна $100^\circ$С. То есть, $T(0) = 100$.

Подставим эти значения в общее решение, чтобы найти значение константы $\text{C}$:

$100 = 20 + C \cdot e^{-0,5 \cdot 0}$

Так как $e^0 = 1$, уравнение упрощается:

$100 = 20 + C \cdot 1$

Отсюда находим $\text{C}$:

$C = 100 - 20 = 80$

Подставив найденное значение $C=80$ в общее решение, получаем частное решение, которое описывает процесс остывания данного камня:

$T(t) = 20 + 80 \cdot e^{-0,5t}$

Ответ: $T(t) = 20 + 80 \cdot e^{-0,5t}$

3) Определите, через сколько времени температура камня будет равна 50o C.

Чтобы найти время $\text{t}$, через которое температура камня достигнет $50^\circ$С, нужно в уравнение частного решения подставить $T(t) = 50$ и решить его относительно $\text{t}$.

$50 = 20 + 80 \cdot e^{-0,5t}$

Вычтем 20 из обеих частей уравнения:

$30 = 80 \cdot e^{-0,5t}$

Разделим обе части на 80:

$e^{-0,5t} = \frac{30}{80} = \frac{3}{8}$

Чтобы найти $\text{t}$, прологарифмируем обе части по основанию $\text{e}$ (натуральный логарифм):

$\ln(e^{-0,5t}) = \ln(\frac{3}{8})$

Используя свойство логарифма $\ln(e^x) = x$, получаем:

$-0,5t = \ln(\frac{3}{8})$

Теперь выразим $\text{t}$:

$t = \frac{\ln(3/8)}{-0,5} = -2 \ln(\frac{3}{8})$

Используя свойство логарифма $-\ln(a) = \ln(1/a)$, можно записать ответ в более удобном виде:

$t = 2 \ln(\frac{8}{3})$

Это точное значение времени в минутах. Для получения численного ответа вычислим его приближенное значение:

$t \approx 2 \cdot 0,9808 \approx 1,9616$ минут.

Округлив до сотых, получаем $1,96$ минуты.

Ответ: через $2 \ln(\frac{8}{3}) \approx 1,96$ минут.