Номер 8.38, страница 94, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

8.38. Напишите уравнение кривой, если касательная, проведенная в любой ее точке, перпендикулярна отрезку, соединяющему точку касания и начало координат.

Пусть искомая кривая задается уравнением, связывающим координаты $\text{x}$ и $\text{y}$. Возьмем на этой кривой произвольную точку $M(x, y)$.

Угловой коэффициент касательной, проведенной к кривой в точке $M(x, y)$, равен значению производной в этой точке: $k_{кас} = y' = \frac{dy}{dx}$.

Отрезок, соединяющий точку касания $M(x, y)$ и начало координат $O(0, 0)$, лежит на прямой, проходящей через эти две точки. Угловой коэффициент этой прямой равен $k_{отр} = \frac{y - 0}{x - 0} = \frac{y}{x}$ (при $x \neq 0$).

Согласно условию задачи, касательная перпендикулярна этому отрезку. Условие перпендикулярности двух прямых (непараллельных осям координат) заключается в том, что произведение их угловых коэффициентов равно $-1$:

$k_{кас} \cdot k_{отр} = -1$

Подставляя выражения для угловых коэффициентов, получаем дифференциальное уравнение, описывающее искомую кривую:

$\frac{dy}{dx} \cdot \frac{y}{x} = -1$

Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Для его решения сгруппируем все члены, содержащие $\text{y}$, с $dy$, а все члены, содержащие $\text{x}$, с $dx$:

$y \, dy = -x \, dx$

Теперь проинтегрируем обе части уравнения:

$\int y \, dy = \int -x \, dx$

$\frac{y^2}{2} = -\frac{x^2}{2} + C_1$, где $C_1$ — произвольная постоянная интегрирования.

Для упрощения вида уравнения умножим обе части на 2:

$y^2 = -x^2 + 2C_1$

Перенесем $-x^2$ в левую часть и обозначим новую константу $C = 2C_1$:

$x^2 + y^2 = C$

Это уравнение описывает семейство окружностей с центром в начале координат $(0, 0)$. Для того чтобы кривая была невырожденной (т.е. не точкой и не мнимой), константа $\text{C}$ должна быть положительной. В этом случае $C = R^2$, где $\text{R}$ — радиус окружности. Геометрически это означает, что радиус-вектор точки на окружности всегда перпендикулярен касательной в этой точке.

Ответ: $x^2 + y^2 = C$, где $\text{C}$ — произвольная положительная константа.