Номер 8.35, страница 93, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

8.35. Напишите уравнение кривой, проходящей через точку $A(-2;1)$, если угловой коэффициент касательной, проведенной в любой точке кривой, равен квадрату ординаты точки касания.

Пусть уравнение искомой кривой $y = f(x)$. Угловой коэффициент касательной к графику функции в точке с абсциссой $\text{x}$ равен значению производной $y'(x)$ в этой точке. По условию задачи, угловой коэффициент касательной в любой точке $(x, y)$ равен квадрату ординаты этой точки, то есть $y^2$. Таким образом, мы получаем дифференциальное уравнение: $y' = y^2$

Запишем $y'$ как $\frac{dy}{dx}$: $\frac{dy}{dx} = y^2$

Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Разделим переменные, перенеся все члены с $\text{y}$ в одну сторону, а с $\text{x}$ — в другую. Предполагаем, что $y \neq 0$, так как кривая проходит через точку $A(-2; 1)$, где ордината не равна нулю. $\frac{dy}{y^2} = dx$

Теперь проинтегрируем обе части уравнения: $\int \frac{dy}{y^2} = \int dx$ $\int y^{-2} dy = \int dx$

Вычисляя интегралы, получаем общее решение дифференциального уравнения: $\frac{y^{-1}}{-1} = x + C$ $-\frac{1}{y} = x + C$ где $\text{C}$ — произвольная постоянная.

Чтобы найти частное решение, используем условие, что кривая проходит через точку $A(-2; 1)$. Подставим координаты этой точки ($x = -2$, $y = 1$) в общее решение, чтобы найти значение константы $\text{C}$: $-\frac{1}{1} = -2 + C$ $-1 = -2 + C$ $C = -1 + 2$ $C = 1$

Подставим найденное значение $C=1$ обратно в общее решение: $-\frac{1}{y} = x + 1$

Наконец, выразим $\text{y}$ через $\text{x}$, чтобы получить явное уравнение кривой: $y = -\frac{1}{x+1}$

Ответ: $y = -\frac{1}{x+1}$