Работа в группе, страница 94, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

Работа в группе

Докажите следующее утверждение.

Если функции $y = f(x)$ и $y = g(x)$ – решения уравнения $ay'' + by' + cy = 0$, то для любых постоянных $C_1$ и $C_2$ функция $y = C_1 \cdot f(x) + C_2 \cdot g(x)$ также является решением этого уравнения.

Для доказательства утверждения необходимо подставить функцию $y = C_1 \cdot f(x) + C_2 \cdot g(x)$ в исходное дифференциальное уравнение $ay'' + by' + cy = 0$ и показать, что в результате получится верное тождество $0 = 0$.

По условию, функции $y_1 = f(x)$ и $y_2 = g(x)$ являются решениями уравнения. Это означает, что для них выполняются следующие равенства:

$af''(x) + bf'(x) + cf(x) = 0$

$ag''(x) + bg'(x) + cg(x) = 0$

Рассмотрим функцию $y(x) = C_1 f(x) + C_2 g(x)$, где $C_1$ и $C_2$ — произвольные постоянные. Чтобы проверить, является ли она решением, найдем ее первую и вторую производные, используя свойство линейности производной (производная суммы равна сумме производных, а постоянный множитель можно выносить за знак производной).

Первая производная:

$y'(x) = (C_1 f(x) + C_2 g(x))' = C_1 f'(x) + C_2 g'(x)$

Вторая производная:

$y''(x) = (C_1 f'(x) + C_2 g'(x))' = C_1 f''(x) + C_2 g''(x)$

Теперь подставим выражения для $y(x)$, $y'(x)$ и $y''(x)$ в левую часть исходного дифференциального уравнения:

$a y''(x) + b y'(x) + c y(x) = a(C_1 f''(x) + C_2 g''(x)) + b(C_1 f'(x) + C_2 g'(x)) + c(C_1 f(x) + C_2 g(x))$

Раскроем скобки и перегруппируем слагаемые, сгруппировав члены с $C_1$ и $C_2$:

$a C_1 f''(x) + a C_2 g''(x) + b C_1 f'(x) + b C_2 g'(x) + c C_1 f(x) + c C_2 g(x)$

Вынесем общие множители $C_1$ и $C_2$ за скобки:

$= C_1 (a f''(x) + b f'(x) + c f(x)) + C_2 (a g''(x) + b g'(x) + c g(x))$

Так как $f(x)$ и $g(x)$ являются решениями уравнения, выражения в скобках равны нулю. Подставим эти значения в наше выражение:

$C_1 \cdot (0) + C_2 \cdot (0) = 0 + 0 = 0$

Таким образом, мы получили, что $a y'' + b y' + c y = 0$ для функции $y = C_1 f(x) + C_2 g(x)$. Это доказывает, что данная функция также является решением уравнения.

Ответ: Утверждение доказано. Поскольку уравнение $ay'' + by' + cy = 0$ является линейным и однородным, любая линейная комбинация его решений, такая как $y = C_1 f(x) + C_2 g(x)$, также является решением этого уравнения. Это свойство называется принципом суперпозиции.