Номер 8.41, страница 98, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

8.41. Убедитесь, что данная функция является решением указанного дифференциального уравнения:

1) $y = C_1 \cdot \cos 2t + C_2 \cdot \sin 2t, y'' + 4y = 0;$

2) $y = C_1 + C_2 e^{3x} + C_3 e^{-3x}, y''' - 9y' = 0.$

1)

Дана функция $y = C_1 \cdot \cos(2t) + C_2 \cdot \sin(2t)$ и дифференциальное уравнение $y'' + 4y = 0$.

Для того чтобы убедиться, что функция является решением, необходимо найти её производные, подставить их в уравнение и проверить, обращается ли оно в тождество.

Найдем первую производную функции $\text{y}$ по переменной $\text{t}$:

$y' = (C_1 \cos(2t) + C_2 \sin(2t))' = -2C_1 \sin(2t) + 2C_2 \cos(2t)$.

Найдем вторую производную, продифференцировав $y'$:

$y'' = (-2C_1 \sin(2t) + 2C_2 \cos(2t))' = -4C_1 \cos(2t) - 4C_2 \sin(2t)$.

Теперь подставим выражения для $\text{y}$ и $y''$ в дифференциальное уравнение $y'' + 4y = 0$:

$(-4C_1 \cos(2t) - 4C_2 \sin(2t)) + 4(C_1 \cos(2t) + C_2 \sin(2t)) = 0$.

Раскроем скобки и сгруппируем слагаемые:

$-4C_1 \cos(2t) - 4C_2 \sin(2t) + 4C_1 \cos(2t) + 4C_2 \sin(2t) = 0$.

$(-4C_1 + 4C_1)\cos(2t) + (-4C_2 + 4C_2)\sin(2t) = 0$.

$0 \cdot \cos(2t) + 0 \cdot \sin(2t) = 0$.

$0 = 0$.

Так как в результате подстановки мы получили верное тождество, данная функция является решением указанного дифференциального уравнения.

Ответ: функция является решением.

2)

Дана функция $y = C_1 + C_2e^{3x} + C_3e^{-3x}$ и дифференциальное уравнение $y''' - 9y' = 0$.

Аналогично первому пункту, найдем необходимые производные функции $\text{y}$ по переменной $\text{x}$.

Найдем первую производную $y'$:

$y' = (C_1 + C_2e^{3x} + C_3e^{-3x})' = 0 + 3C_2e^{3x} - 3C_3e^{-3x} = 3C_2e^{3x} - 3C_3e^{-3x}$.

Найдем вторую производную $y''$:

$y'' = (3C_2e^{3x} - 3C_3e^{-3x})' = 9C_2e^{3x} + 9C_3e^{-3x}$.

Найдем третью производную $y'''$:

$y''' = (9C_2e^{3x} + 9C_3e^{-3x})' = 27C_2e^{3x} - 27C_3e^{-3x}$.

Теперь подставим выражения для $y'''$ и $y'$ в дифференциальное уравнение $y''' - 9y' = 0$:

$(27C_2e^{3x} - 27C_3e^{-3x}) - 9(3C_2e^{3x} - 3C_3e^{-3x}) = 0$.

Раскроем скобки:

$27C_2e^{3x} - 27C_3e^{-3x} - 27C_2e^{3x} + 27C_3e^{-3x} = 0$.

Сгруппируем подобные слагаемые:

$(27C_2 - 27C_2)e^{3x} + (-27C_3 + 27C_3)e^{-3x} = 0$.

$0 \cdot e^{3x} + 0 \cdot e^{-3x} = 0$.

$0 = 0$.

Получено верное тождество, следовательно, данная функция является решением указанного дифференциального уравнения.

Ответ: функция является решением.