Номер 8.46, страница 98, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

8.46. Найдите общее решение дифференциального уравнения и его частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям:

1) $y'' - 4y' + 4y = 0$, $y = 1$ и $y' = 0$ при $x = 0$;

2) $4y'' + 4y' + y = 0$, $y(0) = 4$ и $y(2) = 0$;

3) $y'' - 6y' + 9y = 0$, $y(0) = 1$ и $y'(0) = 0$;

4) $y'' + 2y' + y = 0$, $y(0) = 0$ и $y(1) = 2$;

5) $y'' + 2ky' + k^2y = 0$, $y(0) = 0$ и $y'(0) = 2$.

1) Рассматриваем дифференциальное уравнение $y'' - 4y' + 4y = 0$.

Это линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Составляем и решаем характеристическое уравнение:

$r^2 - 4r + 4 = 0$

$(r-2)^2 = 0$

Уравнение имеет один кратный корень $r_1 = r_2 = 2$. В этом случае общее решение имеет вид:

$y(x) = (C_1 + C_2x)e^{2x}$

Для нахождения частного решения используем начальные условия $y(0) = 1$ и $y'(0) = 0$. Найдем производную общего решения:

$y'(x) = (C_2)e^{2x} + (C_1 + C_2x) \cdot 2e^{2x} = (2C_1 + C_2 + 2C_2x)e^{2x}$

Подставим начальные условия:

$y(0) = 1 \implies (C_1 + C_2 \cdot 0)e^{0} = 1 \implies C_1 = 1$

$y'(0) = 0 \implies (2C_1 + C_2 + 2C_2 \cdot 0)e^{0} = 0 \implies 2C_1 + C_2 = 0$

Решаем систему:

$\begin{cases} C_1 = 1 \\ 2C_1 + C_2 = 0 \end{cases} \implies \begin{cases} C_1 = 1 \\ 2(1) + C_2 = 0 \end{cases} \implies \begin{cases} C_1 = 1 \\ C_2 = -2 \end{cases}$

Подставляем значения констант в общее решение, чтобы получить частное решение:

$y(x) = (1 - 2x)e^{2x}$

Ответ: общее решение $y(x) = (C_1 + C_2x)e^{2x}$, частное решение $y(x) = (1 - 2x)e^{2x}$.

2) Рассматриваем дифференциальное уравнение $4y'' + 4y' + y = 0$.

Составляем и решаем характеристическое уравнение:

$4r^2 + 4r + 1 = 0$

$(2r+1)^2 = 0$

Уравнение имеет один кратный корень $r_1 = r_2 = -1/2$. Общее решение:

$y(x) = (C_1 + C_2x)e^{-x/2}$

Для нахождения частного решения используем условия $y(0) = 4$ и $y(2) = 0$.

Подставим условия:

$y(0) = 4 \implies (C_1 + C_2 \cdot 0)e^{0} = 4 \implies C_1 = 4$

$y(2) = 0 \implies (C_1 + C_2 \cdot 2)e^{-2/2} = 0 \implies (C_1 + 2C_2)e^{-1} = 0$

Поскольку $e^{-1} \neq 0$, то $C_1 + 2C_2 = 0$.

Решаем систему:

$\begin{cases} C_1 = 4 \\ C_1 + 2C_2 = 0 \end{cases} \implies \begin{cases} C_1 = 4 \\ 4 + 2C_2 = 0 \end{cases} \implies \begin{cases} C_1 = 4 \\ C_2 = -2 \end{cases}$

Частное решение:

$y(x) = (4 - 2x)e^{-x/2}$

Ответ: общее решение $y(x) = (C_1 + C_2x)e^{-x/2}$, частное решение $y(x) = (4 - 2x)e^{-x/2}$.

3) Рассматриваем дифференциальное уравнение $y'' - 6y' + 9y = 0$.

Составляем и решаем характеристическое уравнение:

$r^2 - 6r + 9 = 0$

$(r-3)^2 = 0$

Уравнение имеет один кратный корень $r_1 = r_2 = 3$. Общее решение:

$y(x) = (C_1 + C_2x)e^{3x}$

Для нахождения частного решения используем начальные условия $y(0) = 1$ и $y'(0) = 0$. Найдем производную:

$y'(x) = C_2e^{3x} + (C_1 + C_2x) \cdot 3e^{3x} = (3C_1 + C_2 + 3C_2x)e^{3x}$

Подставим начальные условия:

$y(0) = 1 \implies (C_1 + C_2 \cdot 0)e^{0} = 1 \implies C_1 = 1$

$y'(0) = 0 \implies (3C_1 + C_2 + 3C_2 \cdot 0)e^{0} = 0 \implies 3C_1 + C_2 = 0$

Решаем систему:

$\begin{cases} C_1 = 1 \\ 3C_1 + C_2 = 0 \end{cases} \implies \begin{cases} C_1 = 1 \\ 3(1) + C_2 = 0 \end{cases} \implies \begin{cases} C_1 = 1 \\ C_2 = -3 \end{cases}$

Частное решение:

$y(x) = (1 - 3x)e^{3x}$

Ответ: общее решение $y(x) = (C_1 + C_2x)e^{3x}$, частное решение $y(x) = (1 - 3x)e^{3x}$.

4) Рассматриваем дифференциальное уравнение $y'' + 2y' + y = 0$.

Составляем и решаем характеристическое уравнение:

$r^2 + 2r + 1 = 0$

$(r+1)^2 = 0$

Уравнение имеет один кратный корень $r_1 = r_2 = -1$. Общее решение:

$y(x) = (C_1 + C_2x)e^{-x}$

Для нахождения частного решения используем условия $y(0) = 0$ и $y(1) = 2$.

Подставим условия:

$y(0) = 0 \implies (C_1 + C_2 \cdot 0)e^{0} = 0 \implies C_1 = 0$

$y(1) = 2 \implies (C_1 + C_2 \cdot 1)e^{-1} = 2 \implies C_1 + C_2 = 2e$

Решаем систему:

$\begin{cases} C_1 = 0 \\ C_1 + C_2 = 2e \end{cases} \implies \begin{cases} C_1 = 0 \\ C_2 = 2e \end{cases}$

Частное решение:

$y(x) = (0 + 2ex)e^{-x} = 2xe \cdot e^{-x} = 2xe^{1-x}$

Ответ: общее решение $y(x) = (C_1 + C_2x)e^{-x}$, частное решение $y(x) = 2xe^{1-x}$.

5) Рассматриваем дифференциальное уравнение $y'' + 2ky' + k^2y = 0$.

Составляем и решаем характеристическое уравнение:

$r^2 + 2kr + k^2 = 0$

$(r+k)^2 = 0$

Уравнение имеет один кратный корень $r_1 = r_2 = -k$. Общее решение:

$y(x) = (C_1 + C_2x)e^{-kx}$

Для нахождения частного решения используем начальные условия $y(0) = 0$ и $y'(0) = 2$. Найдем производную:

$y'(x) = C_2e^{-kx} + (C_1 + C_2x) \cdot (-k)e^{-kx} = (-kC_1 + C_2 - kC_2x)e^{-kx}$

Подставим начальные условия:

$y(0) = 0 \implies (C_1 + C_2 \cdot 0)e^{0} = 0 \implies C_1 = 0$

$y'(0) = 2 \implies (-kC_1 + C_2 - kC_2 \cdot 0)e^{0} = 2 \implies -kC_1 + C_2 = 2$

Решаем систему:

$\begin{cases} C_1 = 0 \\ -kC_1 + C_2 = 2 \end{cases} \implies \begin{cases} C_1 = 0 \\ -k(0) + C_2 = 2 \end{cases} \implies \begin{cases} C_1 = 0 \\ C_2 = 2 \end{cases}$

Частное решение:

$y(x) = (0 + 2x)e^{-kx} = 2xe^{-kx}$

Ответ: общее решение $y(x) = (C_1 + C_2x)e^{-kx}$, частное решение $y(x) = 2xe^{-kx}$.