Номер 8.53, страница 99, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

8.53. Найдите первообразную для функции $f(x) = 3x^2 + 2x + 1$, график которой пересекается с осью ординат в точке $y = 2$.

Для того чтобы найти первообразную для функции $f(x) = 3x^2 + 2x + 1$, необходимо найти ее неопределенный интеграл. Общий вид первообразной $F(x)$ для функции $f(x)$ определяется как:

$F(x) = \int f(x) dx$

Подставим данную функцию и произведем интегрирование, используя правило для степенной функции $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}$:

$F(x) = \int (3x^2 + 2x + 1) dx = \int 3x^2 dx + \int 2x dx + \int 1 dx$

$F(x) = 3 \frac{x^{2+1}}{2+1} + 2 \frac{x^{1+1}}{1+1} + x + C$

$F(x) = 3 \frac{x^3}{3} + 2 \frac{x^2}{2} + x + C$

$F(x) = x^3 + x^2 + x + C$

Здесь $\text{C}$ — произвольная постоянная. Мы получили семейство всех первообразных для функции $f(x)$.

По условию задачи, график искомой первообразной $F(x)$ пересекается с осью ординат в точке $y = 2$. Это означает, что при $x = 0$ значение функции $F(x)$ равно 2. То есть, $F(0) = 2$.

Используем это условие, чтобы найти значение константы $\text{C}$. Подставим $x = 0$ в общее выражение для первообразной:

$F(0) = (0)^3 + (0)^2 + 0 + C = C$

Так как $F(0) = 2$, мы можем заключить, что $C = 2$.

Теперь подставим найденное значение $C = 2$ в общее выражение для первообразной, чтобы получить искомую функцию:

$F(x) = x^3 + x^2 + x + 2$

Ответ: $F(x) = x^3 + x^2 + x + 2$