Номер 9.1, страница 102, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

9.1. Какой цифрой нужно заменить $\text{a}$ в числе $5431a$, чтобы оно было кратно числу:
1) 2;
2) 3;
3) 4;
4) 5;
5) 6;
6) 9;
7) 10;
8) 11?

1) 2;

Чтобы число было кратно 2, его последняя цифра должна быть четной. В числе 5431$\text{a}$ последняя цифра – это $\text{a}$. Следовательно, $\text{a}$ может быть любой из четных цифр.

Ответ: 0, 2, 4, 6 или 8.

2) 3;

Чтобы число было кратно 3, сумма его цифр должна быть кратна 3. Найдем сумму известных цифр числа 5431$\text{a}$: $5 + 4 + 3 + 1 = 13$. Таким образом, сумма всех цифр равна $13 + a$. Нам нужно, чтобы $13 + a$ делилось на 3. Перебирая возможные значения $\text{a}$ от 0 до 9, находим подходящие:

если $a=2$, то сумма $13+2=15$, $15:3=5$;

если $a=5$, то сумма $13+5=18$, $18:3=6$;

если $a=8$, то сумма $13+8=21$, $21:3=7$.

Ответ: 2, 5 или 8.

3) 4;

Чтобы число было кратно 4, число, образованное двумя его последними цифрами, должно быть кратно 4. В нашем случае это число 1$\text{a}$. Переберем возможные значения $\text{a}$. Число 12 ($a=2$) делится на 4. Число 16 ($a=6$) делится на 4. Другие варианты (10, 11, 13, 14, 15, 17, 18, 19) на 4 без остатка не делятся.

Ответ: 2 или 6.

4) 5;

Чтобы число было кратно 5, его последняя цифра должна быть 0 или 5. В числе 5431$\text{a}$ последняя цифра - это $\text{a}$.

Ответ: 0 или 5.

5) 6;

Чтобы число было кратно 6, оно должно быть одновременно кратно 2 и 3.

Из пункта 1) мы знаем, что для делимости на 2, $\text{a}$ должно быть четным: {0, 2, 4, 6, 8}.

Из пункта 2) мы знаем, что для делимости на 3, $\text{a}$ должно быть одним из: {2, 5, 8}.

Общими для этих двух условий являются цифры 2 и 8.

Ответ: 2 или 8.

6) 9;

Чтобы число было кратно 9, сумма его цифр должна быть кратна 9. Сумма цифр числа 5431$\text{a}$ равна $13 + a$. Нам нужно, чтобы $13 + a$ делилось на 9. Поскольку $\text{a}$ - это цифра от 0 до 9, то сумма $13+a$ может быть от 13 до 22. Единственное число в этом диапазоне, кратное 9, - это 18. Это происходит, когда $a = 18 - 13 = 5$.

Ответ: 5.

7) 10;

Чтобы число было кратно 10, его последняя цифра должна быть 0. В числе 5431$\text{a}$ последняя цифра - это $\text{a}$.

Ответ: 0.

8) 11;

Чтобы число было кратно 11, знакопеременная сумма его цифр (справа налево, начиная с плюса) должна быть кратна 11. Для числа 5431$\text{a}$ эта сумма равна $a - 1 + 3 - 4 + 5 = a + 3$. Нам нужно, чтобы $a + 3$ делилось на 11. Поскольку $\text{a}$ - это цифра от 0 до 9, то выражение $a+3$ может принимать значения от 3 до 12. Единственное число в этом диапазоне, кратное 11, - это само 11. Это достигается при $a+3=11$, то есть $a = 8$.

Ответ: 8.