Номер 9.3, страница 102, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

9.3. Пусть $a > c$. Докажите, что число $\overline{abc} - \overline{cba}$ делится на 9.

9.3. Для доказательства данного утверждения представим числа $\overline{abc}$ и $\overline{cba}$ в виде суммы их разрядных слагаемых. В записи $\overline{abc}$ буквами $\text{a}$, $\text{b}$ и $\text{c}$ обозначены цифры трёхзначного числа. Соответственно, $\text{a}$ — это цифра в разряде сотен, $\text{b}$ — в разряде десятков, $\text{c}$ — в разряде единиц. Поскольку $\overline{abc}$ и $\overline{cba}$ являются трёхзначными числами, их первые цифры $\text{a}$ и $\text{c}$ не могут быть равны нулю. Также по условию $a > c$.

Представим число $\overline{abc}$ в десятичной системе счисления:

$\overline{abc} = 100 \cdot a + 10 \cdot b + c$

Аналогично представим число $\overline{cba}$:

$\overline{cba} = 100 \cdot c + 10 \cdot b + a$

Теперь найдем разность этих двух чисел:

$\overline{abc} - \overline{cba} = (100a + 10b + c) - (100c + 10b + a)$

Раскроем скобки и сгруппируем слагаемые с одинаковыми переменными, чтобы упростить выражение:

$100a + 10b + c - 100c - 10b - a = (100a - a) + (10b - 10b) + (c - 100c)$

После приведения подобных слагаемых получаем:

$99a - 99c$

Вынесем общий множитель $99$ за скобки:

$99(a - c)$

Чтобы доказать, что полученное выражение делится на 9, достаточно показать, что оно является произведением числа 9 и некоторого целого числа. Представим $99$ как $9 \cdot 11$:

$99(a - c) = 9 \cdot 11 \cdot (a - c)$

Поскольку $\text{a}$ и $\text{c}$ являются цифрами, то есть целыми числами, их разность $(a - c)$ также является целым числом. Обозначим выражение $11 \cdot (a - c)$ как $\text{k}$. Так как $11$ и $(a-c)$ — целые числа, их произведение $\text{k}$ также будет целым числом.

Таким образом, разность $\overline{abc} - \overline{cba}$ можно представить в виде $9k$, где $\text{k}$ — целое число. По определению, число, которое можно представить в таком виде, делится на 9.

Следовательно, мы доказали, что число $\overline{abc} - \overline{cba}$ делится на 9.

Ответ: разность $\overline{abc} - \overline{cba}$ равна $99(a-c)$. Поскольку множитель $99$ делится на $\text{9}$ ($99 = 9 \cdot 11$), то и всё произведение $99(a-c)$ делится на $\text{9}$ при любых целых $\text{a}$ и $\text{c}$.