Номер 9.9, страница 102, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

9.9. Найдите числа а и в, если известно, что:

1) $a:b=4:7$ и $(a, b) = 8;$

2) $[a, b] = 124$ и $(a, b) = 31;$

3) $ab = 375$ и $[a, b] = 75.$

$(a, b)$ – НОД чисел а и b, $[a, b]$ – НОК чисел а и в.

1)

Из условия $a : b = 4 : 7$ следует, что числа $\text{a}$ и $\text{b}$ можно представить как $a = 4k$ и $b = 7k$ для некоторого натурального числа $\text{k}$. Поскольку 4 и 7 взаимно просты, их наибольший общий делитель (НОД), обозначенный как $(a, b)$, равен этому числу $\text{k}$. То есть, $(a, b) = (4k, 7k) = k$.

По условию $(a, b) = 8$, значит $k=8$.

Теперь находим искомые числа:

$a = 4 \cdot k = 4 \cdot 8 = 32$

$b = 7 \cdot k = 7 \cdot 8 = 56$

Ответ: $a=32$, $b=56$.

2)

Пусть $d = (a, b) = 31$ — наибольший общий делитель. Тогда числа $\text{a}$ и $\text{b}$ можно представить в виде $a = 31a'$ и $b = 31b'$, где $a'$ и $b'$ — взаимно простые числа, то есть $(a', b')=1$.

Наименьшее общее кратное (НОК) этих чисел, обозначенное как $[a, b]$, выражается формулой $[a, b] = d \cdot a' \cdot b'$. Используя данные из условия, получаем:

$124 = 31 \cdot a' \cdot b'$

Отсюда находим произведение $a' \cdot b'$:

$a' \cdot b' = \frac{124}{31} = 4$

Единственная пара взаимно простых натуральных чисел, произведение которых равно 4, это 1 и 4 (пара 2 и 2 не подходит, так как числа не являются взаимно простыми). Значит, $\{a', b'\} = \{1, 4\}$.

Находим возможные значения $\text{a}$ и $\text{b}$:

Если $a' = 1$ и $b' = 4$, то $a = 31 \cdot 1 = 31$ и $b = 31 \cdot 4 = 124$.

Это дает нам пару чисел {31, 124}.

Ответ: искомые числа — 31 и 124.

3)

Воспользуемся свойством, связывающим НОД и НОК: $(a, b) \cdot [a, b] = a \cdot b$. Подставим известные значения $ab = 375$ и $[a, b] = 75$:

$(a, b) \cdot 75 = 375$

Отсюда найдем НОД: $(a, b) = \frac{375}{75} = 5$.

Теперь, зная НОД и НОК, найдем сами числа. Пусть $d = (a, b) = 5$. Тогда $a = 5a'$ и $b = 5b'$, где $a'$ и $b'$ взаимно просты. Из формулы для НОК $[a, b] = d \cdot a' \cdot b'$ имеем:

$75 = 5 \cdot a' \cdot b'$

$a' \cdot b' = \frac{75}{5} = 15$

Существует две пары взаимно простых натуральных чисел, произведение которых равно 15: (1, 15) и (3, 5).

Рассмотрим оба случая:

1. Если $\{a', b'\} = \{1, 15\}$, то искомые числа $\{a, b\} = \{5 \cdot 1, 5 \cdot 15\} = \{5, 75\}$.

2. Если $\{a', b'\} = \{3, 5\}$, то искомые числа $\{a, b\} = \{5 \cdot 3, 5 \cdot 5\} = \{15, 25\}$.

Ответ: $a=5, b=75$ или $a=15, b=25$.