Номер 9.8, страница 102, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

9.8. Три простых числа, большие 3, являются последовательными членами арифметической прогрессии. Докажите, что разность этой прогрессии кратна 6.

Пусть даны три простых числа $p_1, p_2, p_3$, которые являются последовательными членами арифметической прогрессии, и все они больше 3. Обозначим первый из этих членов как $\text{p}$, а разность прогрессии как $\text{d}$. Тогда эти три числа можно записать в виде $\text{p}$, $p+d$ и $p+2d$. Нам необходимо доказать, что разность $\text{d}$ кратна 6.

Чтобы доказать, что $\text{d}$ кратно 6, мы докажем, что $\text{d}$ кратно 2 и $\text{d}$ кратно 3. Поскольку 2 и 3 являются взаимно простыми числами, из этого будет следовать, что $\text{d}$ кратно их произведению, то есть 6.

Доказательство кратности d числу 2.

По условию, все три числа $\text{p}$, $p+d$, $p+2d$ — простые и больше 3. Любое простое число, большее 2, является нечетным. Следовательно, $\text{p}$ и $p+d$ — нечетные числа.

Рассмотрим разность прогрессии $\text{d}$. Её можно найти как разность второго и первого членов: $d = (p+d) - p$.

Поскольку $p+d$ — нечетное число и $\text{p}$ — нечетное число, их разность $\text{d}$ будет четным числом (например, нечетное - нечетное = (2k+1) - (2m+1) = 2k-2m = 2(k-m)).

Раз $\text{d}$ — четное число, оно делится на 2.

Доказательство кратности d числу 3.

Любое простое число, большее 3, не делится на 3. Следовательно, при делении на 3 оно может давать в остатке только 1 или 2. То есть, для нашего первого члена $\text{p}$ выполняется одно из двух условий: $p \equiv 1 \pmod{3}$ или $p \equiv 2 \pmod{3}$.

Теперь рассмотрим три члена прогрессии: $p, p+d, p+2d$.

Предположим, что разность $\text{d}$ не кратна 3. Тогда $\text{d}$ при делении на 3 также дает в остатке 1 или 2 ($d \equiv 1 \pmod{3}$ или $d \equiv 2 \pmod{3}$).

Рассмотрим все возможные комбинации остатков для $\text{p}$ и $\text{d}$.

1. Если $p \equiv 1 \pmod{3}$ и $d \equiv 1 \pmod{3}$, то остатки членов $p, p+d, p+2d$ при делении на 3 будут: $1, 1+1=2, 1+2\cdot1=3\equiv 0$. Третий член кратен 3.

2. Если $p \equiv 1 \pmod{3}$ и $d \equiv 2 \pmod{3}$, то остатки будут: $1, 1+2=3\equiv 0, 1+2\cdot2=5\equiv 2$. Второй член кратен 3.

3. Если $p \equiv 2 \pmod{3}$ и $d \equiv 1 \pmod{3}$, то остатки будут: $2, 2+1=3\equiv 0, 2+2\cdot1=4\equiv 1$. Второй член кратен 3.

4. Если $p \equiv 2 \pmod{3}$ и $d \equiv 2 \pmod{3}$, то остатки будут: $2, 2+2=4\equiv 1, 2+2\cdot2=6\equiv 0$. Третий член кратен 3.

В каждом из случаев, когда $\text{d}$ не делится на 3, один из членов прогрессии ($p+d$ или $p+2d$) оказывается кратным 3. Но по условию все три числа — простые и больше 3, а значит, ни одно из них не может делиться на 3. Мы пришли к противоречию.

Следовательно, наше предположение о том, что $\text{d}$ не кратно 3, неверно. Таким образом, $\text{d}$ должно быть кратно 3.

Поскольку мы доказали, что $\text{d}$ делится и на 2, и на 3, а числа 2 и 3 взаимно просты, то $\text{d}$ делится на их произведение $2 \times 3 = 6$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что разность прогрессии кратна 6.