Номер 9.15, страница 103, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

9.15. Постройте график функции:

1) $y = \sqrt{x}$; $y = \sqrt{x^2}$; $y = (\sqrt{x})^2$.

$y = \sqrt{x}$

1. Область определения и область значений.

Выражение под знаком арифметического квадратного корня должно быть неотрицательным, поэтому область определения функции (ОДЗ) — $x \ge 0$. Значение арифметического квадратного корня также всегда неотрицательно, поэтому область значений функции — $y \ge 0$.

2. Построение графика.

График функции — это ветвь параболы $x = y^2$, расположенная в первой координатной четверти. Для построения графика составим таблицу значений:

- при $x=0$, $y=\sqrt{0}=0$; точка $(0; 0)$

- при $x=1$, $y=\sqrt{1}=1$; точка $(1; 1)$

- при $x=4$, $y=\sqrt{4}=2$; точка $(4; 2)$

- при $x=9$, $y=\sqrt{9}=3$; точка $(9; 3)$

Соединяя эти точки плавной кривой, получаем искомый график.

Ответ: График функции $y = \sqrt{x}$ — это ветвь параболы, выходящая из начала координат и расположенная в первой координатной четверти.

$y = \sqrt{x^2}$

1. Упрощение функции и область определения.

По свойству арифметического квадратного корня $\sqrt{a^2} = |a|$, поэтому функцию можно записать в виде $y = |x|$. Область определения: выражение $x^2$ неотрицательно при любом действительном значении $\text{x}$, поэтому область определения — все действительные числа, $x \in (-\infty, +\infty)$.

2. Построение графика.

График функции $y = |x|$ состоит из двух частей:

- $y = x$ при $x \ge 0$. Это луч, являющийся биссектрисой первого координатного угла.

- $y = -x$ при $x < 0$. Это луч, являющийся биссектрисой второго координатного угла.

График представляет собой "галочку" (V-образную линию) с вершиной в начале координат.

Ответ: График функции $y = \sqrt{x^2}$ совпадает с графиком функции $y = |x|$, который состоит из двух лучей: $y = x$ при $x \ge 0$ и $y = -x$ при $x < 0$.

$y = (\sqrt{x})^2$

1. Область определения и упрощение.

Область определения функции задается условием существования выражения $\sqrt{x}$, то есть $x \ge 0$. На этой области определения ($x \ge 0$) операция возведения в квадрат является обратной к извлечению корня, поэтому $(\sqrt{x})^2 = x$. Таким образом, необходимо построить график функции $y = x$ при условии $x \ge 0$.

2. Построение графика.

Графиком функции $y = x$ является прямая, а с учетом ограничения $x \ge 0$ — это луч, выходящий из начала координат $(0; 0)$ и являющийся биссектрисой первого координатного угла. Он проходит через точки $(1; 1)$, $(2; 2)$ и т.д.

Ответ: График функции $y = (\sqrt{x})^2$ — это луч $y=x$, выходящий из начала координат и расположенный в первой координатной четверти.