Номер 9.22, страница 105, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

В упражнениях 9.21-9.28 упростите выражения.

9.22. $(\frac{m^2 - n^2}{m^2 n^2} \cdot (\frac{1}{m^2} - \frac{1}{n^2}) - (\frac{1}{p^2} - \frac{1}{n^2}) \cdot \frac{p^2 + n^2}{p^2 n^2}) : \frac{p^2 + m^2}{p^2 m^2}$

9.22. Для упрощения данного выражения выполним действия по шагам. Обозначим всё выражение как $\text{E}$. $ E = \left( \frac{m^2 - n^2}{m^2 n^2} \cdot \left( \frac{1}{m^2} - \frac{1}{n^2} \right) - \left( \frac{1}{p^2} - \frac{1}{n^2} \right) \cdot \frac{p^2 + n^2}{p^2 n^2} \right) : \frac{p^2 + m^2}{p^2 m^2} $

1. Упростим первый член в больших скобках: $ \frac{m^2 - n^2}{m^2 n^2} \cdot \left( \frac{1}{m^2} - \frac{1}{n^2} \right) $ Заметим, что $ \frac{m^2 - n^2}{m^2 n^2} = \frac{m^2}{m^2 n^2} - \frac{n^2}{m^2 n^2} = \frac{1}{n^2} - \frac{1}{m^2} $. А второй множитель $ \frac{1}{m^2} - \frac{1}{n^2} = -\left(\frac{1}{n^2} - \frac{1}{m^2}\right) $. Таким образом, первый член равен: $ \left( \frac{1}{n^2} - \frac{1}{m^2} \right) \cdot \left( -\left(\frac{1}{n^2} - \frac{1}{m^2}\right) \right) = -\left( \frac{1}{n^2} - \frac{1}{m^2} \right)^2 $ Раскроем скобки: $ -\left( \left(\frac{1}{n^2}\right)^2 - 2 \cdot \frac{1}{n^2} \cdot \frac{1}{m^2} + \left(\frac{1}{m^2}\right)^2 \right) = -\left( \frac{1}{n^4} - \frac{2}{m^2 n^2} + \frac{1}{m^4} \right) = -\frac{1}{n^4} + \frac{2}{m^2 n^2} - \frac{1}{m^4} $

2. Упростим второй член в больших скобках: $ \left( \frac{1}{p^2} - \frac{1}{n^2} \right) \cdot \frac{p^2 + n^2}{p^2 n^2} $ Упростим второй множитель: $ \frac{p^2 + n^2}{p^2 n^2} = \frac{p^2}{p^2 n^2} + \frac{n^2}{p^2 n^2} = \frac{1}{n^2} + \frac{1}{p^2} $. Тогда второй член можно записать с использованием формулы разности квадратов $ (x-y)(x+y) = x^2-y^2 $: $ \left( \frac{1}{p^2} - \frac{1}{n^2} \right) \cdot \left( \frac{1}{p^2} + \frac{1}{n^2} \right) = \left(\frac{1}{p^2}\right)^2 - \left(\frac{1}{n^2}\right)^2 = \frac{1}{p^4} - \frac{1}{n^4} $

3. Найдем разность выражений, полученных в шагах 1 и 2 (выражение в больших скобках): $ \left( -\frac{1}{n^4} + \frac{2}{m^2 n^2} - \frac{1}{m^4} \right) - \left( \frac{1}{p^4} - \frac{1}{n^4} \right) = -\frac{1}{n^4} + \frac{2}{m^2 n^2} - \frac{1}{m^4} - \frac{1}{p^4} + \frac{1}{n^4} $ Члены $ -\frac{1}{n^4} $ и $ \frac{1}{n^4} $ взаимно уничтожаются: $ \frac{2}{m^2 n^2} - \frac{1}{m^4} - \frac{1}{p^4} $

4. Упростим делитель: $ \frac{p^2 + m^2}{p^2 m^2} = \frac{p^2}{p^2 m^2} + \frac{m^2}{p^2 m^2} = \frac{1}{m^2} + \frac{1}{p^2} $

5. Выполним деление результата шага 3 на результат шага 4: $ \left( \frac{2}{m^2 n^2} - \frac{1}{m^4} - \frac{1}{p^4} \right) : \left( \frac{1}{m^2} + \frac{1}{p^2} \right) = \frac{\frac{2}{m^2 n^2} - \frac{1}{m^4} - \frac{1}{p^4}}{\frac{1}{m^2} + \frac{1}{p^2}} $ Приведем числитель дроби к общему знаменателю $ m^4 n^2 p^4 $: $ \frac{2}{m^2 n^2} - \frac{1}{m^4} - \frac{1}{p^4} = \frac{2m^2 p^4}{m^4 n^2 p^4} - \frac{n^2 p^4}{m^4 n^2 p^4} - \frac{m^4 n^2}{m^4 n^2 p^4} = \frac{2m^2 p^4 - n^2 p^4 - m^4 n^2}{m^4 n^2 p^4} $ Приведем знаменатель дроби к общему знаменателю $ m^2 p^2 $: $ \frac{1}{m^2} + \frac{1}{p^2} = \frac{p^2 + m^2}{m^2 p^2} $ Теперь выполним деление: $ \frac{\frac{2m^2 p^4 - n^2 p^4 - m^4 n^2}{m^4 n^2 p^4}}{\frac{p^2 + m^2}{m^2 p^2}} = \frac{2m^2 p^4 - n^2 p^4 - m^4 n^2}{m^4 n^2 p^4} \cdot \frac{m^2 p^2}{p^2 + m^2} $ Сократим $ m^2 p^2 $ в числителе и знаменателе: $ \frac{2m^2 p^4 - n^2 p^4 - m^4 n^2}{m^2 n^2 p^2 (p^2 + m^2)} $ Вынесем в числителе общие множители: $ \frac{p^4(2m^2 - n^2) - m^4 n^2}{m^2 n^2 p^2 (m^2 + p^2)} $ Дальнейшее упрощение без дополнительных условий невозможно.

Ответ: $ \frac{2m^2 p^4 - n^2 p^4 - m^4 n^2}{m^2 n^2 p^2 (m^2 + p^2)} $