Номер 9.16, страница 104, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

9.16. Докажите формулу:

1) $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$;

2) $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$;

3) $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$;

4) $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$;

5) $(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$;

6) $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$;

7) $(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$;

8) $(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc$;

9) $a^n - b^n = (a - b)(a^{n-1} + a^{n-2}b + \dots + ab^{n-2} + b^{n-1})$;

10) $a^n - 1 = (a - 1)(a^{n-1} + a^{n-2} + \dots + a + 1)$;

11) $a^{2n+1} + 1 = (a + 1)(a^{2n} - a^{2n-1} + \dots - a + 1)$;

12) $a^{2n+1} + b^{2n+1} = (a + b)(a^{2n} - a^{2n-1}b + \dots - ab^{2n-1} + b^{2n})$;

1) $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$

Для доказательства этой формулы раскроем скобки в правой части выражения, используя правило умножения многочленов (каждый член первого многочлена умножается на каждый член второго):

$(a - b)(a + b) = a \cdot a + a \cdot b - b \cdot a - b \cdot b = a^2 + ab - ab - b^2$.

Приведем подобные слагаемые $ab$ и $-ab$, которые в сумме дают ноль:

$a^2 + 0 - b^2 = a^2 - b^2$.

Таким образом, правая часть тождественно равна левой. Формула доказана.

Ответ: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$

2) $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

Для доказательства возведем в квадрат сумму в левой части, представив ее как произведение двух одинаковых скобок:

$(a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a \cdot a + a \cdot b + b \cdot a + b \cdot b = a^2 + ab + ab + b^2$.

Приведем подобные слагаемые $ab$ и $ab$:

$a^2 + 2ab + b^2$.

Левая часть тождественно равна правой. Формула доказана.

Ответ: $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

3) $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

Доказательство аналогично предыдущему. Раскроем квадрат разности в левой части:

$(a - b)^2 = (a - b)(a - b) = a \cdot a + a \cdot (-b) - b \cdot a + (-b) \cdot (-b) = a^2 - ab - ab + b^2$.

Приведем подобные слагаемые $-ab$ и $-ab$:

$a^2 - 2ab + b^2$.

Левая часть тождественно равна правой. Формула доказана.

Ответ: $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

4) $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$

Для доказательства раскроем скобки в правой части выражения:

$(a + b)(a^2 - ab + b^2) = a(a^2 - ab + b^2) + b(a^2 - ab + b^2)$.

Выполним умножение:

$(a^3 - a^2b + ab^2) + (a^2b - ab^2 + b^3) = a^3 - a^2b + ab^2 + a^2b - ab^2 + b^3$.

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$a^3 + (-a^2b + a^2b) + (ab^2 - ab^2) + b^3 = a^3 + 0 + 0 + b^3 = a^3 + b^3$.

Правая часть тождественно равна левой. Формула доказана.

Ответ: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$

5) $(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$

Представим куб разности как произведение и воспользуемся уже доказанной формулой квадрата разности (пункт 3):

$(a - b)^3 = (a - b)(a - b)^2 = (a - b)(a^2 - 2ab + b^2)$.

Раскроем скобки:

$a(a^2 - 2ab + b^2) - b(a^2 - 2ab + b^2) = (a^3 - 2a^2b + ab^2) - (a^2b - 2ab^2 + b^3)$.

Раскроем вторую скобку и приведем подобные слагаемые:

$a^3 - 2a^2b + ab^2 - a^2b + 2ab^2 - b^3 = a^3 + (-2a^2b - a^2b) + (ab^2 + 2ab^2) - b^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$.

Левая часть тождественно равна правой. Формула доказана.

Ответ: $(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$

6) $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$

Для доказательства раскроем скобки в правой части выражения:

$(a - b)(a^2 + ab + b^2) = a(a^2 + ab + b^2) - b(a^2 + ab + b^2)$.

Выполним умножение:

$(a^3 + a^2b + ab^2) - (a^2b + ab^2 + b^3) = a^3 + a^2b + ab^2 - a^2b - ab^2 - b^3$.

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$a^3 + (a^2b - a^2b) + (ab^2 - ab^2) - b^3 = a^3 + 0 + 0 - b^3 = a^3 - b^3$.

Правая часть тождественно равна левой. Формула доказана.

Ответ: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$

7) $(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$

Представим куб суммы как произведение и воспользуемся уже доказанной формулой квадрата суммы (пункт 2):

$(a + b)^3 = (a + b)(a + b)^2 = (a + b)(a^2 + 2ab + b^2)$.

Раскроем скобки:

$a(a^2 + 2ab + b^2) + b(a^2 + 2ab + b^2) = (a^3 + 2a^2b + ab^2) + (a^2b + 2ab^2 + b^3)$.

Приведем подобные слагаемые:

$a^3 + (2a^2b + a^2b) + (ab^2 + 2ab^2) + b^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$.

Левая часть тождественно равна правой. Формула доказана.

Ответ: $(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$

8) $(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc$

Раскроем квадрат в левой части, представив его как произведение скобок:

$(a + b + c)^2 = (a + b + c)(a + b + c)$.

Выполним умножение многочленов:

$a(a+b+c) + b(a+b+c) + c(a+b+c) = (a^2 + ab + ac) + (ba + b^2 + bc) + (ca + cb + c^2)$.

Сгруппируем члены и приведем подобные слагаемые:

$a^2 + b^2 + c^2 + (ab + ba) + (ac + ca) + (bc + cb) = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc$.

Левая часть тождественно равна правой. Формула доказана.

Ответ: $(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc$

9) $a^n - b^n = (a - b)(a^{n-1} + a^{n-2}b + \dots + ab^{n-2} + b^{n-1})$

Докажем формулу, раскрыв скобки в правой части:

$(a - b)(a^{n-1} + a^{n-2}b + \dots + b^{n-1}) = a(a^{n-1} + a^{n-2}b + \dots + b^{n-1}) - b(a^{n-1} + a^{n-2}b + \dots + b^{n-1})$.

Раскроем каждую скобку:

$= (a^n + a^{n-1}b + a^{n-2}b^2 + \dots + ab^{n-1}) - (a^{n-1}b + a^{n-2}b^2 + \dots + ab^{n-1} + b^n)$.

При вычитании второго многочлена из первого все промежуточные члены взаимно уничтожаются (эффект "телескопической суммы"):

$= a^n + (a^{n-1}b - a^{n-1}b) + (a^{n-2}b^2 - a^{n-2}b^2) + \dots + (ab^{n-1} - ab^{n-1}) - b^n = a^n - b^n$.

Правая часть тождественно равна левой. Формула доказана.

Ответ: $a^n - b^n = (a - b)(a^{n-1} + a^{n-2}b + \dots + b^{n-1})$

10) $a^n - 1 = (a - 1)(a^{n-1} + a^{n-2} + \dots + a + 1)$

Эта формула является частным случаем предыдущей формулы (пункт 9) при $b=1$. Подставим $b=1$ в формулу разности n-ых степеней:

$a^n - 1^n = (a - 1)(a^{n-1} + a^{n-2}\cdot 1 + \dots + a\cdot 1^{n-2} + 1^{n-1})$.

Так как $\text{1}$ в любой степени равно $\text{1}$, получаем:

$a^n - 1 = (a - 1)(a^{n-1} + a^{n-2} + \dots + a + 1)$.

Формула доказана.

Ответ: $a^n - 1 = (a - 1)(a^{n-1} + a^{n-2} + \dots + a + 1)$

11) $a^{2n+1} + 1 = (a + 1)(a^{2n} - a^{2n-1} + \dots - a + 1)$

Эта формула является частным случаем следующей формулы (пункт 12) при $b=1$. Докажем ее прямым раскрытием скобок в правой части. Многочлен во второй скобке представляет собой знакочередующуюся сумму степеней $\text{a}$:

$(a + 1)(a^{2n} - a^{2n-1} + \dots - a + 1) = a(a^{2n} - a^{2n-1} + \dots - a + 1) + 1(a^{2n} - a^{2n-1} + \dots - a + 1)$.

Раскроем скобки:

$= (a^{2n+1} - a^{2n} + a^{2n-1} - \dots - a^2 + a) + (a^{2n} - a^{2n-1} + \dots + a^2 - a + 1)$.

Все промежуточные члены с противоположными знаками взаимно уничтожаются:

$= a^{2n+1} + (-a^{2n} + a^{2n}) + (a^{2n-1} - a^{2n-1}) + \dots + (a - a) + 1 = a^{2n+1} + 1$.

Правая часть тождественно равна левой. Формула доказана.

Ответ: $a^{2n+1} + 1 = (a + 1)(a^{2n} - a^{2n-1} + \dots - a + 1)$

12) $a^{2n+1} + b^{2n+1} = (a + b)(a^{2n} - a^{2n-1}b + \dots - ab^{2n-1} + b^{2n})$

Данная формула является обобщением суммы кубов на любую нечетную степень $2n+1$. Докажем ее, раскрыв скобки в правой части:

$(a+b)(a^{2n} - a^{2n-1}b + \dots + b^{2n}) = a(a^{2n} - a^{2n-1}b + \dots + b^{2n}) + b(a^{2n} - a^{2n-1}b + \dots + b^{2n})$.

Раскроем каждую скобку:

$= (a^{2n+1} - a^{2n}b + a^{2n-1}b^2 - \dots + ab^{2n}) + (a^{2n}b - a^{2n-1}b^2 + \dots - ab^{2n} + b^{2n+1})$.

Как и в предыдущих случаях, промежуточные члены уничтожаются:

$= a^{2n+1} + (-a^{2n}b + a^{2n}b) + (a^{2n-1}b^2 - a^{2n-1}b^2) + \dots + (ab^{2n} - ab^{2n}) + b^{2n+1}$.

В результате остается:

$a^{2n+1} + b^{2n+1}$.

Правая часть тождественно равна левой. Формула доказана.

Ответ: $a^{2n+1} + b^{2n+1} = (a + b)(a^{2n} - a^{2n-1}b + \dots - ab^{2n-1} + b^{2n})$