Номер 9.20, страница 104, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

9.20. Докажите, что:

1) $143^{15} - 81^{15}$ кратно 62;

2) число $12^{81} + 28^{81}$ кратно 80.

1) Чтобы доказать, что выражение $143^{16} - 81^{16}$ кратно 62, воспользуемся формулой разности степеней: $a^n - b^n = (a - b)(a^{n-1} + a^{n-2}b + \dots + b^{n-1})$. Эта формула показывает, что $a^n - b^n$ всегда делится на $a-b$. В нашем случае $a = 143$, $b = 81$, и $n = 16$. Найдем разность оснований $a - b$: $143 - 81 = 62$. Следовательно, выражение $143^{16} - 81^{16}$ можно представить в виде: $143^{16} - 81^{16} = (143 - 81)(143^{15} + 143^{14} \cdot 81 + \dots + 81^{15}) = 62 \cdot (143^{15} + 143^{14} \cdot 81 + \dots + 81^{15})$. Поскольку второй множитель в этом произведении является целым числом (как сумма произведений целых чисел), все выражение делится на 62 без остатка. Таким образом, доказано, что $143^{16} - 81^{16}$ кратно 62.

Ответ: что и требовалось доказать.

2) Чтобы доказать, что число $12^{81} + 28^{81}$ кратно 80, воспользуемся формулой суммы степеней для нечетного показателя: $a^n + b^n = (a + b)(a^{n-1} - a^{n-2}b + \dots + b^{n-1})$ при нечетном $\text{n}$. В данном случае $a = 12$, $b = 28$, а показатель степени $n = 81$ является нечетным числом. Найдем сумму оснований $a + b$: $12 + 28 = 40$. Применив формулу, получаем: $12^{81} + 28^{81} = (12 + 28)(12^{80} - 12^{79} \cdot 28 + \dots + 28^{80}) = 40 \cdot (12^{80} - 12^{79} \cdot 28 + \dots + 28^{80})$. Это доказывает, что наше число делится на 40. Чтобы доказать делимость на 80, нужно показать, что второй множитель, обозначим его $\text{K}$, является четным числом. $K = 12^{80} - 12^{79} \cdot 28 + 12^{78} \cdot 28^2 - \dots + 28^{80}$. Этот множитель представляет собой сумму 81 слагаемого. Рассмотрим каждое слагаемое. Основания 12 и 28 — четные числа. Любая натуральная степень четного числа является четным числом. Произведение, в котором хотя бы один множитель четный, также является четным. Все 81 слагаемое в выражении для $\text{K}$ являются четными числами. Например, первое слагаемое $12^{80}$ четное, второе $-12^{79} \cdot 28$ четное, и так далее, до последнего слагаемого $28^{80}$. Сумма (или разность) любого количества четных чисел всегда является четным числом. Следовательно, $\text{K}$ — четное число, и его можно представить в виде $K = 2m$, где $\text{m}$ — целое число. Тогда исходное выражение равно: $12^{81} + 28^{81} = 40 \cdot K = 40 \cdot (2m) = 80m$. Это означает, что число $12^{81} + 28^{81}$ делится на 80.

Ответ: что и требовалось доказать.