Номер 9.19, страница 104, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

9.19. Запишите выражение в виде двучлена:

1) $(2x + 1) (16x^4 - 8x^3 + 4x^2 - 2x + 1)$;

2) $(\frac{2}{3}x - 3ab) (\frac{8}{27}x^3 + \frac{4}{3}x^2ab + 6xa^2b^2 + 27a^3b^3)$.

1) $(2x + 1)(16x^4 - 8x^3 + 4x^2 - 2x + 1)$

Данное выражение представляет собой произведение, которое соответствует формуле суммы пятых степеней: $a^5 + b^5 = (a + b)(a^4 - a^3b + a^2b^2 - ab^3 + b^4)$.

Из первого множителя $(2x + 1)$ определим $\text{a}$ и $\text{b}$. Пусть $a = 2x$ и $b = 1$.

Проверим, соответствует ли второй множитель $(16x^4 - 8x^3 + 4x^2 - 2x + 1)$ выражению $a^4 - a^3b + a^2b^2 - ab^3 + b^4$ при данных $\text{a}$ и $\text{b}$:

$a^4 = (2x)^4 = 16x^4$

$-a^3b = -(2x)^3 \cdot 1 = -8x^3$

$a^2b^2 = (2x)^2 \cdot 1^2 = 4x^2$

$-ab^3 = -(2x) \cdot 1^3 = -2x$

$b^4 = 1^4 = 1$

Сумма этих членов $16x^4 - 8x^3 + 4x^2 - 2x + 1$ полностью совпадает со вторым множителем.

Следовательно, исходное выражение можно записать как $a^5 + b^5$.

Подставим значения $\text{a}$ и $\text{b}$: $(2x)^5 + 1^5 = 32x^5 + 1$.

Ответ: $32x^5 + 1$.

2) $(\frac{2}{3}x - 3ab)(\frac{8}{27}x^3 + \frac{4}{3}x^2ab + 6xa^2b^2 + 27a^3b^3)$

Данное выражение соответствует формуле разности четвёртых степеней: $a^4 - b^4 = (a - b)(a^3 + a^2b + ab^2 + b^3)$.

Из первого множителя $(\frac{2}{3}x - 3ab)$ определим $\text{a}$ и $\text{b}$. Пусть $a = \frac{2}{3}x$ и $b = 3ab$.

Проверим, соответствует ли второй множитель $(\frac{8}{27}x^3 + \frac{4}{3}x^2ab + 6xa^2b^2 + 27a^3b^3)$ выражению $a^3 + a^2b + ab^2 + b^3$ при данных $\text{a}$ и $\text{b}$:

$a^3 = (\frac{2}{3}x)^3 = \frac{8}{27}x^3$

$a^2b = (\frac{2}{3}x)^2 \cdot (3ab) = \frac{4}{9}x^2 \cdot 3ab = \frac{12}{9}x^2ab = \frac{4}{3}x^2ab$

$ab^2 = (\frac{2}{3}x) \cdot (3ab)^2 = \frac{2}{3}x \cdot 9a^2b^2 = \frac{18}{3}xa^2b^2 = 6xa^2b^2$

$b^3 = (3ab)^3 = 27a^3b^3$

Сумма этих членов $\frac{8}{27}x^3 + \frac{4}{3}x^2ab + 6xa^2b^2 + 27a^3b^3$ полностью совпадает со вторым множителем.

Следовательно, исходное выражение можно записать как $a^4 - b^4$.

Подставим значения $\text{a}$ и $\text{b}$: $(\frac{2}{3}x)^4 - (3ab)^4 = \frac{16}{81}x^4 - 81a^4b^4$.

Ответ: $\frac{16}{81}x^4 - 81a^4b^4$.