Номер 9.14, страница 103, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

9.14. Покажите, что число является иррациональным:

1) $\sqrt{2}$;

2) $\sqrt{3}$;

3) $\sqrt{5}$.

1) Для доказательства иррациональности числа $\sqrt{2}$ воспользуемся методом от противного. Предположим, что $\sqrt{2}$ является рациональным числом. Это означает, что его можно представить в виде несократимой дроби $\frac{m}{n}$, где $\text{m}$ — целое число, а $\text{n}$ — натуральное число ($m \in \mathbb{Z}, n \in \mathbb{N}$), и у $\text{m}$ и $\text{n}$ нет общих делителей, кроме 1.

Итак, пусть $\sqrt{2} = \frac{m}{n}$.

Возведем обе части равенства в квадрат:

$(\sqrt{2})^2 = (\frac{m}{n})^2$

$2 = \frac{m^2}{n^2}$

Отсюда следует, что $m^2 = 2n^2$.

Из этого равенства видно, что $m^2$ является четным числом (так как оно равно произведению 2 и некоторого целого числа $n^2$). Если квадрат числа является четным, то и само число является четным. Следовательно, $\text{m}$ — четное число.

Представим $\text{m}$ в виде $m = 2k$, где $\text{k}$ — некоторое целое число.

Подставим это выражение для $\text{m}$ в равенство $m^2 = 2n^2$:

$(2k)^2 = 2n^2$

$4k^2 = 2n^2$

Разделим обе части на 2:

$2k^2 = n^2$.

Из этого равенства следует, что $n^2$ также является четным числом, а значит, и само число $\text{n}$ является четным.

Таким образом, мы получили, что и числитель $\text{m}$, и знаменатель $\text{n}$ исходной дроби являются четными числами, то есть делятся на 2. Это означает, что дробь $\frac{m}{n}$ можно сократить на 2. Но это противоречит нашему первоначальному предположению, что дробь $\frac{m}{n}$ является несократимой.

Полученное противоречие означает, что наше исходное предположение о рациональности числа $\sqrt{2}$ было неверным. Следовательно, число $\sqrt{2}$ является иррациональным.

Ответ: число $\sqrt{2}$ является иррациональным, что и требовалось доказать.

2) Докажем иррациональность числа $\sqrt{3}$ методом от противного. Предположим, что $\sqrt{3}$ — рациональное число. Тогда его можно записать в виде несократимой дроби $\frac{m}{n}$, где $m \in \mathbb{Z}, n \in \mathbb{N}$.

$\sqrt{3} = \frac{m}{n}$

Возведем обе части в квадрат:

$3 = \frac{m^2}{n^2}$

$m^2 = 3n^2$.

Это равенство показывает, что $m^2$ делится нацело на 3. Если квадрат целого числа делится на простое число 3, то и само число делится на 3. Следовательно, $\text{m}$ делится на 3.

Представим $\text{m}$ в виде $m = 3k$, где $\text{k}$ — целое число.

Подставим это в равенство $m^2 = 3n^2$:

$(3k)^2 = 3n^2$

$9k^2 = 3n^2$

Разделим обе части на 3:

$3k^2 = n^2$.

Отсюда следует, что $n^2$ также делится на 3, а значит, и само число $\text{n}$ делится на 3.

Мы пришли к выводу, что и числитель $\text{m}$, и знаменатель $\text{n}$ делятся на 3. Это противоречит нашему предположению о том, что дробь $\frac{m}{n}$ несократима.

Следовательно, наше предположение о том, что $\sqrt{3}$ — рациональное число, неверно. Значит, число $\sqrt{3}$ является иррациональным.

Ответ: число $\sqrt{3}$ является иррациональным, что и требовалось доказать.

3) Докажем иррациональность числа $\sqrt{5}$ методом от противного. Предположим, что $\sqrt{5}$ — рациональное число. Тогда его можно представить в виде несократимой дроби $\frac{m}{n}$, где $m \in \mathbb{Z}, n \in \mathbb{N}$.

$\sqrt{5} = \frac{m}{n}$

Возведем обе части в квадрат:

$5 = \frac{m^2}{n^2}$

$m^2 = 5n^2$.

Из этого равенства следует, что $m^2$ делится нацело на 5. Так как 5 — простое число, то если квадрат числа делится на 5, то и само число делится на 5. Следовательно, $\text{m}$ делится на 5.

Представим $\text{m}$ в виде $m = 5k$, где $\text{k}$ — целое число.

Подставим это в равенство $m^2 = 5n^2$:

$(5k)^2 = 5n^2$

$25k^2 = 5n^2$

Разделим обе части на 5:

$5k^2 = n^2$.

Отсюда следует, что $n^2$ делится на 5, а значит, и само число $\text{n}$ делится на 5.

Таким образом, мы установили, что и числитель $\text{m}$, и знаменатель $\text{n}$ делятся на 5. Это противоречит первоначальному условию, что дробь $\frac{m}{n}$ является несократимой.

Противоречие доказывает, что наше предположение о рациональности числа $\sqrt{5}$ было ложным. Следовательно, число $\sqrt{5}$ является иррациональным.

Ответ: число $\sqrt{5}$ является иррациональным, что и требовалось доказать.