Номер 9.12, страница 103, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

9.12. Вычислите:

1) $\sqrt{(\sqrt{5}-1)^2} + 1;$

2) $\sqrt{(\sqrt{5}-3)^2} - 3;$

3) $\sqrt{(\sqrt{5}-1)^2} + \sqrt{(\sqrt{5}-3)^2};$

4) $(\sqrt{5}-3) \cdot \sqrt{14+6\sqrt{5}};$

5) $(\sqrt{5}-2) \cdot \sqrt{9+4\sqrt{5}};$

6) $(\sqrt{3}+\sqrt{2}) \cdot \sqrt{5-2\sqrt{6}};$

7) $\frac{1}{\sqrt{2}+1} + \frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{99}+\sqrt{100}}.$

1)

Воспользуемся свойством квадратного корня $ \sqrt{a^2} = |a| $.

Выражение: $ \sqrt{(\sqrt{5}-1)^2} + 1 $.

$ \sqrt{(\sqrt{5}-1)^2} = |\sqrt{5}-1| $.

Поскольку $ \sqrt{5} > \sqrt{4} = 2 $, то $ \sqrt{5} > 1 $, и, следовательно, выражение $ \sqrt{5}-1 $ положительно.

Значит, $ |\sqrt{5}-1| = \sqrt{5}-1 $.

Подставляем обратно в исходное выражение:

$ (\sqrt{5}-1) + 1 = \sqrt{5} - 1 + 1 = \sqrt{5} $.

Ответ: $ \sqrt{5} $.

2)

Воспользуемся свойством квадратного корня $ \sqrt{a^2} = |a| $.

Выражение: $ \sqrt{(\sqrt{5}-3)^2} - 3 $.

$ \sqrt{(\sqrt{5}-3)^2} = |\sqrt{5}-3| $.

Поскольку $ \sqrt{5} < \sqrt{9} = 3 $, то $ \sqrt{5} < 3 $, и, следовательно, выражение $ \sqrt{5}-3 $ отрицательно.

Значит, $ |\sqrt{5}-3| = -(\sqrt{5}-3) = 3-\sqrt{5} $.

Подставляем обратно в исходное выражение:

$ (3-\sqrt{5}) - 3 = 3 - \sqrt{5} - 3 = -\sqrt{5} $.

Ответ: $ -\sqrt{5} $.

3)

Выражение: $ \sqrt{(\sqrt{5}-1)^2} + \sqrt{(\sqrt{5}-3)^2} $.

Используя свойство $ \sqrt{a^2} = |a| $, преобразуем оба слагаемых.

Первое слагаемое: $ \sqrt{(\sqrt{5}-1)^2} = |\sqrt{5}-1| $. Так как $ \sqrt{5} > 1 $, то $ \sqrt{5}-1 > 0 $, и $ |\sqrt{5}-1| = \sqrt{5}-1 $.

Второе слагаемое: $ \sqrt{(\sqrt{5}-3)^2} = |\sqrt{5}-3| $. Так как $ \sqrt{5} < 3 $, то $ \sqrt{5}-3 < 0 $, и $ |\sqrt{5}-3| = -(\sqrt{5}-3) = 3-\sqrt{5} $.

Теперь сложим полученные значения:

$ (\sqrt{5}-1) + (3-\sqrt{5}) = \sqrt{5} - 1 + 3 - \sqrt{5} = 2 $.

Ответ: $ 2 $.

4)

Выражение: $ (\sqrt{5}-3) \cdot \sqrt{14+6\sqrt{5}} $.

Упростим выражение под корнем $ \sqrt{14+6\sqrt{5}} $, представив подкоренное выражение в виде полного квадрата $ (a+b)^2 = a^2+2ab+b^2 $.

$ 14+6\sqrt{5} = 14+2 \cdot 3 \cdot \sqrt{5} $.

Попробуем найти $ a $ и $ b $ такие, что $ a^2+b^2=14 $ и $ ab=3\sqrt{5} $. Подходят $ a=3 $ и $ b=\sqrt{5} $.

$ a^2+b^2 = 3^2 + (\sqrt{5})^2 = 9+5=14 $. Это верно.

Таким образом, $ 14+6\sqrt{5} = (3+\sqrt{5})^2 $.

Тогда $ \sqrt{14+6\sqrt{5}} = \sqrt{(3+\sqrt{5})^2} = |3+\sqrt{5}| = 3+\sqrt{5} $.

Теперь умножим: $ (\sqrt{5}-3) \cdot (3+\sqrt{5}) $.

Это формула разности квадратов $ (x-y)(x+y) = x^2-y^2 $, где $ x=\sqrt{5} $ и $ y=3 $.

$ (\sqrt{5}-3)(\sqrt{5}+3) = (\sqrt{5})^2 - 3^2 = 5-9 = -4 $.

Ответ: $ -4 $.

5)

Выражение: $ (\sqrt{5}-2) \cdot \sqrt{9+4\sqrt{5}} $.

Упростим выражение под корнем $ \sqrt{9+4\sqrt{5}} $, представив подкоренное выражение в виде полного квадрата $ (a+b)^2 $.

$ 9+4\sqrt{5} = 9+2 \cdot 2 \cdot \sqrt{5} $.

Попробуем найти $ a $ и $ b $ такие, что $ a^2+b^2=9 $ и $ ab=2\sqrt{5} $. Подходят $ a=\sqrt{5} $ и $ b=2 $.

$ a^2+b^2 = (\sqrt{5})^2 + 2^2 = 5+4=9 $. Это верно.

Таким образом, $ 9+4\sqrt{5} = (\sqrt{5}+2)^2 $.

Тогда $ \sqrt{9+4\sqrt{5}} = \sqrt{(\sqrt{5}+2)^2} = |\sqrt{5}+2| = \sqrt{5}+2 $.

Теперь умножим: $ (\sqrt{5}-2) \cdot (\sqrt{5}+2) $.

Это формула разности квадратов $ (x-y)(x+y) = x^2-y^2 $.

$ (\sqrt{5})^2 - 2^2 = 5-4 = 1 $.

Ответ: $ 1 $.

6)

Выражение: $ (\sqrt{3}+\sqrt{2}) \cdot \sqrt{5-2\sqrt{6}} $.

Упростим выражение под корнем $ \sqrt{5-2\sqrt{6}} $, представив подкоренное выражение в виде полного квадрата $ (a-b)^2 = a^2-2ab+b^2 $.

Ищем $ a $ и $ b $ такие, что $ a^2+b^2=5 $ и $ ab=\sqrt{6} $. Подходят $ a=\sqrt{3} $ и $ b=\sqrt{2} $.

$ a^2+b^2 = (\sqrt{3})^2 + (\sqrt{2})^2 = 3+2=5 $. Это верно.

Таким образом, $ 5-2\sqrt{6} = (\sqrt{3}-\sqrt{2})^2 $.

Тогда $ \sqrt{5-2\sqrt{6}} = \sqrt{(\sqrt{3}-\sqrt{2})^2} = |\sqrt{3}-\sqrt{2}| $.

Поскольку $ \sqrt{3} > \sqrt{2} $, то $ \sqrt{3}-\sqrt{2} > 0 $, и $ |\sqrt{3}-\sqrt{2}| = \sqrt{3}-\sqrt{2} $.

Теперь умножим: $ (\sqrt{3}+\sqrt{2}) \cdot (\sqrt{3}-\sqrt{2}) $.

Это формула разности квадратов $ (x+y)(x-y) = x^2-y^2 $.

$ (\sqrt{3})^2 - (\sqrt{2})^2 = 3-2 = 1 $.

Ответ: $ 1 $.

7)

Дана сумма: $ S = \frac{1}{\sqrt{2}+1} + \frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{99}+\sqrt{100}} $.

Упростим каждое слагаемое, избавившись от иррациональности в знаменателе. Для этого умножим числитель и знаменатель дроби вида $ \frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} $ на сопряженное выражение $ \sqrt{a}-\sqrt{b} $ (или $ \sqrt{b}-\sqrt{a} $).

Первое слагаемое: $ \frac{1}{\sqrt{2}+1} = \frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{1}} \cdot \frac{\sqrt{2}-\sqrt{1}}{\sqrt{2}-\sqrt{1}} = \frac{\sqrt{2}-1}{2-1} = \sqrt{2}-1 $.

Второе слагаемое: $ \frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{3-2} = \sqrt{3}-\sqrt{2} $.

Третье слагаемое: $ \frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}} = \frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{4}-\sqrt{3}}{\sqrt{4}-\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{4}-\sqrt{3}}{4-3} = \sqrt{4}-\sqrt{3} $.

Аналогично, последнее слагаемое в сумме: $ \frac{1}{\sqrt{99}+\sqrt{100}} = \frac{1}{\sqrt{100}+\sqrt{99}} \cdot \frac{\sqrt{100}-\sqrt{99}}{\sqrt{100}-\sqrt{99}} = \frac{\sqrt{100}-\sqrt{99}}{100-99} = \sqrt{100}-\sqrt{99} $.

Теперь подставим упрощенные слагаемые обратно в сумму:

$ S = (\sqrt{2}-1) + (\sqrt{3}-\sqrt{2}) + (\sqrt{4}-\sqrt{3}) + \dots + (\sqrt{100}-\sqrt{99}) $.

Это телескопическая сумма. При раскрытии скобок все промежуточные члены взаимно уничтожаются:

$ S = -1 + (\sqrt{2}-\sqrt{2}) + (\sqrt{3}-\sqrt{3}) + \dots + (\sqrt{99}-\sqrt{99}) + \sqrt{100} $.

Остаются только первый и последний члены:

$ S = -1 + \sqrt{100} = -1 + 10 = 9 $.

Ответ: $ 9 $.