Номер 9.5, страница 102, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

9.5. Докажите, что произведение четырех последовательных натуральных чисел делится на 24.

Обозначим четыре последовательных натуральных числа как $\text{n}$, $n+1$, $n+2$ и $n+3$, где $\text{n}$ — натуральное число. Их произведение равно $P = n(n+1)(n+2)(n+3)$.

Чтобы доказать, что произведение $\text{P}$ делится на 24, нужно доказать, что оно делится на 3 и на 8, поскольку $24 = 3 \times 8$, а числа 3 и 8 взаимно простые (их наибольший общий делитель равен 1).

Доказательство делимости на 3

Среди любых трех последовательных натуральных чисел одно обязательно делится на 3. Наша последовательность $n, n+1, n+2, n+3$ содержит тройку последовательных чисел (например, $n, n+1, n+2$). Следовательно, одно из чисел в произведении $\text{P}$ делится на 3, а значит, и все произведение делится на 3.

Доказательство делимости на 8

Среди четырех последовательных натуральных чисел всегда есть ровно два четных числа. Так как они отстоят друг от друга на 2, они являются последовательными четными числами. Одно из этих двух четных чисел обязательно будет кратно 4. Чтобы это показать, представим эти числа как $2k$ и $2(k+1)$ для некоторого целого $\text{k}$. Если $\text{k}$ — четное, то $2k$ кратно 4. Если $\text{k}$ — нечетное, то $k+1$ — четное, и тогда $2(k+1)$ кратно 4.

Таким образом, в произведении $\text{P}$ всегда есть один множитель, кратный 4, и еще один (отличный от него) множитель, который является четным (кратен 2). Следовательно, их произведение, а значит и все произведение $\text{P}$, делится на $4 \times 2 = 8$.

Поскольку мы доказали, что произведение $\text{P}$ делится и на 3, и на 8, то оно делится и на их произведение $3 \times 8 = 24$, что и требовалось доказать.

Для полноты решения приведем также более короткое альтернативное доказательство.

Произведение четырех последовательных натуральных чисел $n(n+1)(n+2)(n+3)$ можно связать с числом сочетаний. Число сочетаний из $\text{k}$ элементов по $\text{m}$, обозначаемое $C_k^m$ или $\binom{k}{m}$, по определению всегда является целым числом.

Рассмотрим число сочетаний из $n+3$ по 4: $$ C_{n+3}^4 = \binom{n+3}{4} = \frac{(n+3)!}{4! \cdot ((n+3)-4)!} = \frac{(n+3)!}{4! \cdot (n-1)!} $$ Распишем факториалы: $$ C_{n+3}^4 = \frac{(n-1)! \cdot n(n+1)(n+2)(n+3)}{4! \cdot (n-1)!} = \frac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{4!} $$ Так как $4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$, мы получаем: $$ C_{n+3}^4 = \frac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{24} $$ Поскольку $C_{n+3}^4$ — это целое число для любого натурального $\text{n}$, то и выражение $\frac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{24}$ должно быть целым. Это означает, что числитель $n(n+1)(n+2)(n+3)$ делится нацело на знаменатель 24.

Ответ: Утверждение доказано. Произведение четырех последовательных натуральных чисел делится на 24.