Номер 8.51, страница 99, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

8.51. Найдите частные решения дифференциальных уравнений:

1) $y'' + 2y' + 2y = 0$, $y(0) = 0$ и $y'(0) = 2$;

2) $y'' - 3y' + 4y = 0$, $y(0) = 1$ и $y'(0) = 0$;

3) $4y'' + 8y' + 5y = 0$, $y(0) = 2$ и $y'(0) = 0$.

1) Дано дифференциальное уравнение $y'' + 2y' + 2y = 0$ с начальными условиями $y(0) = 0$ и $y'(0) = 2$.

Это линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Для его решения составим характеристическое уравнение:

$k^2 + 2k + 2 = 0$

Найдем корни этого квадратного уравнения. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 4 - 8 = -4$.

Корни комплексные: $k_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 \pm \sqrt{-4}}{2} = \frac{-2 \pm 2i}{2} = -1 \pm i$.

Мы получили пару комплексно-сопряженных корней вида $\alpha \pm i\beta$, где $\alpha = -1$ и $\beta = 1$.

Общее решение в этом случае имеет вид: $y(x) = e^{\alpha x}(C_1 \cos(\beta x) + C_2 \sin(\beta x))$.

Подставляя наши значения $\alpha$ и $\beta$, получаем общее решение:

$y(x) = e^{-x}(C_1 \cos x + C_2 \sin x)$

Теперь найдем производную $y'(x)$ для применения второго начального условия:

$y'(x) = (e^{-x})'(C_1 \cos x + C_2 \sin x) + e^{-x}(C_1 \cos x + C_2 \sin x)'$

$y'(x) = -e^{-x}(C_1 \cos x + C_2 \sin x) + e^{-x}(-C_1 \sin x + C_2 \cos x)$

$y'(x) = e^{-x}((C_2 - C_1) \cos x - (C_1 + C_2) \sin x)$

Используем начальные условия для нахождения констант $C_1$ и $C_2$.

Из $y(0) = 0$:

$e^{-0}(C_1 \cos 0 + C_2 \sin 0) = 0$

$1(C_1 \cdot 1 + C_2 \cdot 0) = 0 \implies C_1 = 0$

Из $y'(0) = 2$:

$e^{-0}((C_2 - C_1) \cos 0 - (C_1 + C_2) \sin 0) = 2$

$1((C_2 - C_1) \cdot 1 - (C_1 + C_2) \cdot 0) = 2 \implies C_2 - C_1 = 2$

Подставляем найденное значение $C_1 = 0$ во второе уравнение: $C_2 - 0 = 2 \implies C_2 = 2$.

Подставляем значения $C_1=0$ и $C_2=2$ в общее решение, чтобы получить частное решение:

$y(x) = e^{-x}(0 \cdot \cos x + 2 \sin x) = 2e^{-x} \sin x$

Ответ: $y(x) = 2e^{-x} \sin x$

2) Дано дифференциальное уравнение $y'' - 3y' + 4y = 0$ с начальными условиями $y(0) = 1$ и $y'(0) = 0$.

Составляем характеристическое уравнение:

$k^2 - 3k + 4 = 0$

Находим его корни. Дискриминант $D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 9 - 16 = -7$.

Корни комплексные: $k_{1,2} = \frac{3 \pm \sqrt{-7}}{2} = \frac{3}{2} \pm i\frac{\sqrt{7}}{2}$.

Здесь $\alpha = \frac{3}{2}$ и $\beta = \frac{\sqrt{7}}{2}$.

Общее решение имеет вид: $y(x) = e^{\frac{3}{2}x}\left(C_1 \cos\left(\frac{\sqrt{7}}{2}x\right) + C_2 \sin\left(\frac{\sqrt{7}}{2}x\right)\right)$.

Найдем производную $y'(x)$:

$y'(x) = \frac{3}{2}e^{\frac{3}{2}x}\left(C_1 \cos\left(\frac{\sqrt{7}}{2}x\right) + C_2 \sin\left(\frac{\sqrt{7}}{2}x\right)\right) + e^{\frac{3}{2}x}\left(-C_1 \frac{\sqrt{7}}{2} \sin\left(\frac{\sqrt{7}}{2}x\right) + C_2 \frac{\sqrt{7}}{2} \cos\left(\frac{\sqrt{7}}{2}x\right)\right)$

Используем начальные условия для нахождения $C_1$ и $C_2$.

Из $y(0) = 1$:

$e^0\left(C_1 \cos 0 + C_2 \sin 0\right) = 1 \implies C_1 \cdot 1 = 1 \implies C_1 = 1$

Из $y'(0) = 0$:

$\frac{3}{2}e^0\left(C_1 \cos 0 + C_2 \sin 0\right) + e^0\left(-C_1 \frac{\sqrt{7}}{2} \sin 0 + C_2 \frac{\sqrt{7}}{2} \cos 0\right) = 0$

$\frac{3}{2}(C_1 \cdot 1) + (C_2 \frac{\sqrt{7}}{2} \cdot 1) = 0 \implies \frac{3}{2}C_1 + \frac{\sqrt{7}}{2}C_2 = 0$

Подставляем $C_1 = 1$ во второе уравнение:

$\frac{3}{2}(1) + \frac{\sqrt{7}}{2}C_2 = 0 \implies \frac{\sqrt{7}}{2}C_2 = -\frac{3}{2} \implies C_2 = -\frac{3}{\sqrt{7}} = -\frac{3\sqrt{7}}{7}$

Подставляем найденные константы в общее решение:

$y(x) = e^{\frac{3}{2}x}\left(\cos\left(\frac{\sqrt{7}}{2}x\right) - \frac{3\sqrt{7}}{7} \sin\left(\frac{\sqrt{7}}{2}x\right)\right)$

Ответ: $y(x) = e^{\frac{3}{2}x}\left(\cos\left(\frac{\sqrt{7}}{2}x\right) - \frac{3\sqrt{7}}{7} \sin\left(\frac{\sqrt{7}}{2}x\right)\right)$

3) Дано дифференциальное уравнение $4y'' + 8y' + 5y = 0$ с начальными условиями $y(0) = 2$ и $y'(0) = 0$.

Характеристическое уравнение:

$4k^2 + 8k + 5 = 0$

Находим корни. Дискриминант $D = 8^2 - 4 \cdot 4 \cdot 5 = 64 - 80 = -16$.

Корни комплексные: $k_{1,2} = \frac{-8 \pm \sqrt{-16}}{2 \cdot 4} = \frac{-8 \pm 4i}{8} = -1 \pm \frac{1}{2}i$.

Здесь $\alpha = -1$ и $\beta = \frac{1}{2}$.

Общее решение имеет вид: $y(x) = e^{-x}\left(C_1 \cos\left(\frac{x}{2}\right) + C_2 \sin\left(\frac{x}{2}\right)\right)$.

Найдем производную $y'(x)$:

$y'(x) = -e^{-x}\left(C_1 \cos\left(\frac{x}{2}\right) + C_2 \sin\left(\frac{x}{2}\right)\right) + e^{-x}\left(-\frac{C_1}{2}\sin\left(\frac{x}{2}\right) + \frac{C_2}{2}\cos\left(\frac{x}{2}\right)\right)$

Используем начальные условия для нахождения $C_1$ и $C_2$.

Из $y(0) = 2$:

$e^0\left(C_1 \cos 0 + C_2 \sin 0\right) = 2 \implies C_1 \cdot 1 = 2 \implies C_1 = 2$

Из $y'(0) = 0$:

$-e^0\left(C_1 \cos 0 + C_2 \sin 0\right) + e^0\left(-\frac{C_1}{2}\sin 0 + \frac{C_2}{2}\cos 0\right) = 0$

$-(C_1 \cdot 1) + (\frac{C_2}{2} \cdot 1) = 0 \implies -C_1 + \frac{C_2}{2} = 0$

Подставляем $C_1 = 2$ во второе уравнение:

$-2 + \frac{C_2}{2} = 0 \implies \frac{C_2}{2} = 2 \implies C_2 = 4$

Подставляем найденные константы в общее решение:

$y(x) = e^{-x}\left(2 \cos\left(\frac{x}{2}\right) + 4 \sin\left(\frac{x}{2}\right)\right)$

Ответ: $y(x) = e^{-x}\left(2 \cos\left(\frac{x}{2}\right) + 4 \sin\left(\frac{x}{2}\right)\right)$